Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28943 / 20241
↖ ↑ ↗
← N 76.989428°
W100.505676°		 ← 68.76 m → N 76.989428°
W100.502930°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.988809°
W100.505676°		 ← 68.76 m →
4 727 m²		 N 76.988809°
W100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220821380615234 y=0.154430389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220821380615234 × 217)
    floor (0.220821380615234 × 131072)
    floor (28943.5)     		tx = 28943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154430389404297 × 217)
    floor (0.154430389404297 × 131072)
    floor (20241.5)     		ty = 20241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28943 / 20241 ti = "17/28943/20241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28943/20241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28943 ÷ 217
    28943 ÷ 131072     		x = 0.220817565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20241 ÷ 217
    20241 ÷ 131072     		y = 0.154426574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220817565917969 × 2 - 1) × π
    -0.558364868164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.75415497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154426574707031 × 2 - 1) × π
    0.691146850585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17130186829044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75415497} λ = -1.75415497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17130186829044))-π/2
    2×atan(8.76969359827128)-π/2
    2×1.45725766298056-π/2
    2.91451532596113-1.57079632675     		φ = 1.34371900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75415497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.505676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34371900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.989428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28943 KachelY 20241 -1.75415497 1.34371900 -100.505676 76.989428
    Oben rechts KachelX + 1 28944 KachelY 20241 -1.75410703 1.34371900 -100.502930 76.989428
    Unten links KachelX 28943 KachelY + 1 20242 -1.75415497 1.34370821 -100.505676 76.988809
    Unten rechts KachelX + 1 28944 KachelY + 1 20242 -1.75410703 1.34370821 -100.502930 76.988809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34371900-1.34370821) × R
    1.07900000001493e-05 × 6371000     		dl = 68.7430900009511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34371900-1.34370821) × R
    1.07900000001493e-05 × 6371000     		dr = 68.7430900009511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75415497--1.75410703) × cos(1.34371900) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.225130845209707 × 6371000     		do = 68.7607549952736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75415497--1.75410703) × cos(1.34370821) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.225141358201541 × 6371000     		du = 68.763965933584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34371900)-sin(1.34370821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225130845209707-0.225141358201541)×R²
    abs(-1.75410703--1.75415497)×1.05129918338831e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.05129918338831e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.05129918338831e-05×40589641000000     		ar = 4726.93713408231m²