Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28941 / 42267
↖ ↑ ↗
← S 46.176027°
W 21.022339°		 ← 422.94 m → S 46.176027°
W 21.016846°		 →
↑
422.97 m
↓
↑
422.97 m
↓
S 46.179830°
W 21.022339°		 ← 422.91 m →
178 884 m²		 S 46.179830°
W 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441612243652344 y=0.644950866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441612243652344 × 216)
    floor (0.441612243652344 × 65536)
    floor (28941.5)     		tx = 28941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644950866699219 × 216)
    floor (0.644950866699219 × 65536)
    floor (42267.5)     		ty = 42267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28941 / 42267 ti = "16/28941/42267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28941/42267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28941 ÷ 216
    28941 ÷ 65536     		x = 0.441604614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42267 ÷ 216
    42267 ÷ 65536     		y = 0.644943237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441604614257812 × 2 - 1) × π
    -0.116790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36690903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644943237304688 × 2 - 1) × π
    -0.289886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.910705218981827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36690903} λ = -0.36690903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910705218981827))-π/2
    2×atan(0.40224045638113)-π/2
    2×0.382436311617419-π/2
    0.764872623234837-1.57079632675     		φ = -0.80592370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36690903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.022339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80592370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.176027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28941 KachelY 42267 -0.36690903 -0.80592370 -21.022339 -46.176027
    Oben rechts KachelX + 1 28942 KachelY 42267 -0.36681316 -0.80592370 -21.016846 -46.176027
    Unten links KachelX 28941 KachelY + 1 42268 -0.36690903 -0.80599009 -21.022339 -46.179830
    Unten rechts KachelX + 1 28942 KachelY + 1 42268 -0.36681316 -0.80599009 -21.016846 -46.179830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80592370--0.80599009) × R
    6.63899999999717e-05 × 6371000     		dl = 422.97068999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80592370--0.80599009) × R
    6.63899999999717e-05 × 6371000     		dr = 422.97068999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36690903--0.36681316) × cos(-0.80592370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692445108162841 × 6371000     		do = 422.937003462181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36690903--0.36681316) × cos(-0.80599009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692397208206227 × 6371000     		du = 422.907746754498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80592370)-sin(-0.80599009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692445108162841-0.692397208206227)×R²
    abs(-0.36681316--0.36690903)×4.7899956613584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7899956613584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7899956613584e-05×40589641000000     		ar = 178883.768881515m²