Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28940 / 29451
↖ ↑ ↗
← N 69.889732°
W100.513916°		 ← 105.01 m → N 69.889732°
W100.511169°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 69.888788°
W100.513916°		 ← 105.02 m →
11 026 m²		 N 69.888788°
W100.511169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220798492431641 y=0.224697113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220798492431641 × 217)
    floor (0.220798492431641 × 131072)
    floor (28940.5)     		tx = 28940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224697113037109 × 217)
    floor (0.224697113037109 × 131072)
    floor (29451.5)     		ty = 29451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28940 / 29451 ti = "17/28940/29451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28940/29451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28940 ÷ 217
    28940 ÷ 131072     		x = 0.220794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29451 ÷ 217
    29451 ÷ 131072     		y = 0.224693298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.55841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75429878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224693298339844 × 2 - 1) × π
    0.550613403320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.72980302278973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75429878} λ = -1.75429878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72980302278973))-π/2
    2×atan(5.63954293757888)-π/2
    2×1.39530113462728-π/2
    2.79060226925456-1.57079632675     		φ = 1.21980594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75429878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.513916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21980594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.889732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28940 KachelY 29451 -1.75429878 1.21980594 -100.513916 69.889732
    Oben rechts KachelX + 1 28941 KachelY 29451 -1.75425084 1.21980594 -100.511169 69.889732
    Unten links KachelX 28940 KachelY + 1 29452 -1.75429878 1.21978946 -100.513916 69.888788
    Unten rechts KachelX + 1 28941 KachelY + 1 29452 -1.75425084 1.21978946 -100.511169 69.888788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21980594-1.21978946) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21980594-1.21978946) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75429878--1.75425084) × cos(1.21980594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343827981465264 × 6371000     		do = 105.013915671666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75429878--1.75425084) × cos(1.21978946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343843456676657 × 6371000     		du = 105.018642199557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21980594)-sin(1.21978946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343827981465264-0.343843456676657)×R²
    abs(-1.75425084--1.75429878)×1.54752113933898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54752113933898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54752113933898e-05×40589641000000     		ar = 11026.0875921397m²