Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28940 / 24324
↖ ↑ ↗
← N 74.208993°
W100.513916°		 ← 83.12 m → N 74.208993°
W100.511169°		 →
↑
83.08 m
↓
↑
83.08 m
↓
N 74.208246°
W100.513916°		 ← 83.12 m →
6 905 m²		 N 74.208246°
W100.511169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220798492431641 y=0.185581207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220798492431641 × 217)
    floor (0.220798492431641 × 131072)
    floor (28940.5)     		tx = 28940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185581207275391 × 217)
    floor (0.185581207275391 × 131072)
    floor (24324.5)     		ty = 24324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28940 / 24324 ti = "17/28940/24324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28940/24324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28940 ÷ 217
    28940 ÷ 131072     		x = 0.220794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24324 ÷ 217
    24324 ÷ 131072     		y = 0.185577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.55841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75429878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185577392578125 × 2 - 1) × π
    0.62884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.97557550714175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75429878} λ = -1.75429878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97557550714175))-π/2
    2×atan(7.21076830857486)-π/2
    2×1.43299379540271-π/2
    2.86598759080542-1.57079632675     		φ = 1.29519126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75429878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.513916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29519126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.208993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28940 KachelY 24324 -1.75429878 1.29519126 -100.513916 74.208993
    Oben rechts KachelX + 1 28941 KachelY 24324 -1.75425084 1.29519126 -100.511169 74.208993
    Unten links KachelX 28940 KachelY + 1 24325 -1.75429878 1.29517822 -100.513916 74.208246
    Unten rechts KachelX + 1 28941 KachelY + 1 24325 -1.75425084 1.29517822 -100.511169 74.208246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29519126-1.29517822) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dl = 83.0778400001255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29519126-1.29517822) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dr = 83.0778400001255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75429878--1.75425084) × cos(1.29519126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.272129218742781 × 6371000     		do = 83.1152680100812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75429878--1.75425084) × cos(1.29517822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.272141766599399 × 6371000     		du = 83.1191004484742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29519126)-sin(1.29517822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272129218742781-0.272141766599399)×R²
    abs(-1.75425084--1.75429878)×1.25478566182502e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.25478566182502e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25478566182502e-05×40589641000000     		ar = 6905.19613279001m²