Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28938 / 42280
↖ ↑ ↗
← S 46.225453°
W 21.038818°		 ← 422.56 m → S 46.225453°
W 21.033325°		 →
↑
422.59 m
↓
↑
422.59 m
↓
S 46.229253°
W 21.038818°		 ← 422.53 m →
178 561 m²		 S 46.229253°
W 21.033325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441566467285156 y=0.645149230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441566467285156 × 216)
    floor (0.441566467285156 × 65536)
    floor (28938.5)     		tx = 28938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645149230957031 × 216)
    floor (0.645149230957031 × 65536)
    floor (42280.5)     		ty = 42280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28938 / 42280 ti = "16/28938/42280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28938/42280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28938 ÷ 216
    28938 ÷ 65536     		x = 0.441558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42280 ÷ 216
    42280 ÷ 65536     		y = 0.6451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36719665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.911951578371948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36719665} λ = -0.36719665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911951578371948))-π/2
    2×atan(0.401739432503998)-π/2
    2×0.382004987895913-π/2
    0.764009975791826-1.57079632675     		φ = -0.80678635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36719665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80678635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.225453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28938 KachelY 42280 -0.36719665 -0.80678635 -21.038818 -46.225453
    Oben rechts KachelX + 1 28939 KachelY 42280 -0.36710078 -0.80678635 -21.033325 -46.225453
    Unten links KachelX 28938 KachelY + 1 42281 -0.36719665 -0.80685268 -21.038818 -46.229253
    Unten rechts KachelX + 1 28939 KachelY + 1 42281 -0.36710078 -0.80685268 -21.033325 -46.229253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80678635--0.80685268) × R
    6.63300000000033e-05 × 6371000     		dl = 422.588430000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80678635--0.80685268) × R
    6.63300000000033e-05 × 6371000     		dr = 422.588430000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36719665--0.36710078) × cos(-0.80678635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691822474012816 × 6371000     		do = 422.556706138162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36719665--0.36710078) × cos(-0.80685268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691774577744959 × 6371000     		du = 422.527451683526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80678635)-sin(-0.80685268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691822474012816-0.691774577744959)×R²
    abs(-0.36710078--0.36719665)×4.78962678567285e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78962678567285e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78962678567285e-05×40589641000000     		ar = 178561.393801098m²