Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28938 / 24322
↖ ↑ ↗
← N 74.210488°
W100.519409°		 ← 83.09 m → N 74.210488°
W100.516663°		 →
↑
83.08 m
↓
↑
83.08 m
↓
N 74.209741°
W100.519409°		 ← 83.09 m →
6 903 m²		 N 74.209741°
W100.516663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220783233642578 y=0.185565948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220783233642578 × 217)
    floor (0.220783233642578 × 131072)
    floor (28938.5)     		tx = 28938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185565948486328 × 217)
    floor (0.185565948486328 × 131072)
    floor (24322.5)     		ty = 24322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28938 / 24322 ti = "17/28938/24322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28938/24322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28938 ÷ 217
    28938 ÷ 131072     		x = 0.220779418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24322 ÷ 217
    24322 ÷ 131072     		y = 0.185562133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220779418945312 × 2 - 1) × π
    -0.558441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75439465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185562133789062 × 2 - 1) × π
    0.628875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.97567138094099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75439465} λ = -1.75439465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97567138094099))-π/2
    2×atan(7.21145966546902)-π/2
    2×1.43300683983185-π/2
    2.86601367966369-1.57079632675     		φ = 1.29521735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75439465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.519409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29521735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.210488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28938 KachelY 24322 -1.75439465 1.29521735 -100.519409 74.210488
    Oben rechts KachelX + 1 28939 KachelY 24322 -1.75434672 1.29521735 -100.516663 74.210488
    Unten links KachelX 28938 KachelY + 1 24323 -1.75439465 1.29520431 -100.519409 74.209741
    Unten rechts KachelX + 1 28939 KachelY + 1 24323 -1.75434672 1.29520431 -100.516663 74.209741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29521735-1.29520431) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dl = 83.0778400001255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29521735-1.29520431) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dr = 83.0778400001255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75439465--1.75434672) × cos(1.29521735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.272104113268048 × 6371000     		do = 83.090264398932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75439465--1.75434672) × cos(1.29520431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.272116661217247 × 6371000     		du = 83.0940960661715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29521735)-sin(1.29520431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272104113268048-0.272116661217247)×R²
    abs(-1.75434672--1.75439465)×1.25479491982494e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.25479491982494e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.25479491982494e-05×40589641000000     		ar = 6903.11885452092m²