Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28938 / 19275
↖ ↑ ↗
← N 59.324783°
W 21.038818°		 ← 311.61 m → N 59.324783°
W 21.033325°		 →
↑
311.61 m
↓
↑
311.61 m
↓
N 59.321981°
W 21.038818°		 ← 311.63 m →
97 102 m²		 N 59.321981°
W 21.033325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441566467285156 y=0.294120788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441566467285156 × 216)
    floor (0.441566467285156 × 65536)
    floor (28938.5)     		tx = 28938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294120788574219 × 216)
    floor (0.294120788574219 × 65536)
    floor (19275.5)     		ty = 19275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28938 / 19275 ti = "16/28938/19275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28938/19275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28938 ÷ 216
    28938 ÷ 65536     		x = 0.441558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19275 ÷ 216
    19275 ÷ 65536     		y = 0.294113159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36719665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294113159179688 × 2 - 1) × π
    0.411773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29362517314684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36719665} λ = -0.36719665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29362517314684))-π/2
    2×atan(3.64597993571748)-π/2
    2×1.30310456002405-π/2
    2.6062091200481-1.57079632675     		φ = 1.03541279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36719665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03541279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.324783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28938 KachelY 19275 -0.36719665 1.03541279 -21.038818 59.324783
    Oben rechts KachelX + 1 28939 KachelY 19275 -0.36710078 1.03541279 -21.033325 59.324783
    Unten links KachelX 28938 KachelY + 1 19276 -0.36719665 1.03536388 -21.038818 59.321981
    Unten rechts KachelX + 1 28939 KachelY + 1 19276 -0.36710078 1.03536388 -21.033325 59.321981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03541279-1.03536388) × R
    4.89100000000686e-05 × 6371000     		dl = 311.605610000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03541279-1.03536388) × R
    4.89100000000686e-05 × 6371000     		dr = 311.605610000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36719665--0.36710078) × cos(1.03541279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5101709465945 × 6371000     		do = 311.606174789237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36719665--0.36710078) × cos(1.03536388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510213012155836 × 6371000     		du = 311.631867919639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03541279)-sin(1.03536388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5101709465945-0.510213012155836)×R²
    abs(-0.36710078--0.36719665)×4.20655613360132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20655613360132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20655613360132e-05×40589641000000     		ar = 97102.2352560801m²