Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28937 / 19274
↖ ↑ ↗
← N 59.327585°
W 21.044311°		 ← 311.58 m → N 59.327585°
W 21.038818°		 →
↑
311.61 m
↓
↑
311.61 m
↓
N 59.324783°
W 21.044311°		 ← 311.61 m →
97 094 m²		 N 59.324783°
W 21.038818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441551208496094 y=0.294105529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441551208496094 × 216)
    floor (0.441551208496094 × 65536)
    floor (28937.5)     		tx = 28937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294105529785156 × 216)
    floor (0.294105529785156 × 65536)
    floor (19274.5)     		ty = 19274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28937 / 19274 ti = "16/28937/19274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28937/19274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28937 ÷ 216
    28937 ÷ 65536     		x = 0.441543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19274 ÷ 216
    19274 ÷ 65536     		y = 0.294097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441543579101562 × 2 - 1) × π
    -0.116912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36729252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294097900390625 × 2 - 1) × π
    0.41180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29372104694608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36729252} λ = -0.36729252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29372104694608))-π/2
    2×atan(3.64632950642293)-π/2
    2×1.30312901502909-π/2
    2.60625803005818-1.57079632675     		φ = 1.03546170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36729252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.044311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03546170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.327585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28937 KachelY 19274 -0.36729252 1.03546170 -21.044311 59.327585
    Oben rechts KachelX + 1 28938 KachelY 19274 -0.36719665 1.03546170 -21.038818 59.327585
    Unten links KachelX 28937 KachelY + 1 19275 -0.36729252 1.03541279 -21.044311 59.324783
    Unten rechts KachelX + 1 28938 KachelY + 1 19275 -0.36719665 1.03541279 -21.038818 59.324783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03546170-1.03541279) × R
    4.89099999998466e-05 × 6371000     		dl = 311.605609999023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03546170-1.03541279) × R
    4.89099999998466e-05 × 6371000     		dr = 311.605609999023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36729252--0.36719665) × cos(1.03546170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510128879812739 × 6371000     		do = 311.580480913414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36729252--0.36719665) × cos(1.03541279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5101709465945 × 6371000     		du = 311.606174789237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03546170)-sin(1.03541279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510128879812739-0.5101709465945)×R²
    abs(-0.36719665--0.36729252)×4.20667817606635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20667817606635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20667817606635e-05×40589641000000     		ar = 97094.2290160271m²