Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28936 / 20745
↖ ↑ ↗
← N 76.674089°
W100.524903°		 ← 70.40 m → N 76.674089°
W100.522156°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.673456°
W100.524903°		 ← 70.40 m →
4 956 m²		 N 76.673456°
W100.522156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220767974853516 y=0.158275604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220767974853516 × 217)
    floor (0.220767974853516 × 131072)
    floor (28936.5)     		tx = 28936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158275604248047 × 217)
    floor (0.158275604248047 × 131072)
    floor (20745.5)     		ty = 20745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28936 / 20745 ti = "17/28936/20745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28936/20745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28936 ÷ 217
    28936 ÷ 131072     		x = 0.22076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20745 ÷ 217
    20745 ÷ 131072     		y = 0.158271789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158271789550781 × 2 - 1) × π
    0.683456420898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.14714167088194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75449053} λ = -1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14714167088194))-π/2
    2×atan(8.5603550823986)-π/2
    2×1.45450581161183-π/2
    2.90901162322367-1.57079632675     		φ = 1.33821530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33821530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.674089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28936 KachelY 20745 -1.75449053 1.33821530 -100.524903 76.674089
    Oben rechts KachelX + 1 28937 KachelY 20745 -1.75444259 1.33821530 -100.522156 76.674089
    Unten links KachelX 28936 KachelY + 1 20746 -1.75449053 1.33820425 -100.524903 76.673456
    Unten rechts KachelX + 1 28937 KachelY + 1 20746 -1.75444259 1.33820425 -100.522156 76.673456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33821530-1.33820425) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dl = 70.3995500007866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33821530-1.33820425) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dr = 70.3995500007866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75449053--1.75444259) × cos(1.33821530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230489820441346 × 6371000     		do = 70.3975239707192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75449053--1.75444259) × cos(1.33820425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230500572903112 × 6371000     		du = 70.4008080493108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33821530)-sin(1.33820425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230489820441346-0.230500572903112)×R²
    abs(-1.75444259--1.75449053)×1.07524617657395e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07524617657395e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07524617657395e-05×40589641000000     		ar = 4956.06960775111m²