Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28935 / 42265
↖ ↑ ↗
← S 46.168419°
W 21.055298°		 ← 423 m → S 46.168419°
W 21.049805°		 →
↑
422.97 m
↓
↑
422.97 m
↓
S 46.172223°
W 21.055298°		 ← 422.97 m →
178 909 m²		 S 46.172223°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441520690917969 y=0.644920349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441520690917969 × 216)
    floor (0.441520690917969 × 65536)
    floor (28935.5)     		tx = 28935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644920349121094 × 216)
    floor (0.644920349121094 × 65536)
    floor (42265.5)     		ty = 42265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28935 / 42265 ti = "16/28935/42265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28935/42265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28935 ÷ 216
    28935 ÷ 65536     		x = 0.441513061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42265 ÷ 216
    42265 ÷ 65536     		y = 0.644912719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441513061523438 × 2 - 1) × π
    -0.116973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36748427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.289825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.910513471383347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36748427} λ = -0.36748427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910513471383347))-π/2
    2×atan(0.402317592417742)-π/2
    2×0.382502703552495-π/2
    0.765005407104989-1.57079632675     		φ = -0.80579092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36748427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.055298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80579092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.168419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28935 KachelY 42265 -0.36748427 -0.80579092 -21.055298 -46.168419
    Oben rechts KachelX + 1 28936 KachelY 42265 -0.36738840 -0.80579092 -21.049805 -46.168419
    Unten links KachelX 28935 KachelY + 1 42266 -0.36748427 -0.80585731 -21.055298 -46.172223
    Unten rechts KachelX + 1 28936 KachelY + 1 42266 -0.36738840 -0.80585731 -21.049805 -46.172223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80579092--0.80585731) × R
    6.63900000000828e-05 × 6371000     		dl = 422.970690000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80579092--0.80585731) × R
    6.63900000000828e-05 × 6371000     		dr = 422.970690000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36748427--0.36738840) × cos(-0.80579092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692540898919727 × 6371000     		do = 422.995511284966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36748427--0.36738840) × cos(-0.80585731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692493005067411 × 6371000     		du = 422.966258305714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80579092)-sin(-0.80585731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692540898919727-0.692493005067411)×R²
    abs(-0.36738840--0.36748427)×4.78938523160721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78938523160721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78938523160721e-05×40589641000000     		ar = 178908.51676493m²