Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28934 / 42253
↖ ↑ ↗
← S 46.122749°
W 21.060791°		 ← 423.39 m → S 46.122749°
W 21.055298°		 →
↑
423.35 m
↓
↑
423.35 m
↓
S 46.126556°
W 21.060791°		 ← 423.36 m →
179 238 m²		 S 46.126556°
W 21.055298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441505432128906 y=0.644737243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441505432128906 × 216)
    floor (0.441505432128906 × 65536)
    floor (28934.5)     		tx = 28934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644737243652344 × 216)
    floor (0.644737243652344 × 65536)
    floor (42253.5)     		ty = 42253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28934 / 42253 ti = "16/28934/42253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28934/42253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28934 ÷ 216
    28934 ÷ 65536     		x = 0.441497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42253 ÷ 216
    42253 ÷ 65536     		y = 0.644729614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36758015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644729614257812 × 2 - 1) × π
    -0.289459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.909362985792465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36758015} λ = -0.36758015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909362985792465))-π/2
    2×atan(0.402780719370136)-π/2
    2×0.382901248033369-π/2
    0.765802496066737-1.57079632675     		φ = -0.80499383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36758015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80499383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.122749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28934 KachelY 42253 -0.36758015 -0.80499383 -21.060791 -46.122749
    Oben rechts KachelX + 1 28935 KachelY 42253 -0.36748427 -0.80499383 -21.055298 -46.122749
    Unten links KachelX 28934 KachelY + 1 42254 -0.36758015 -0.80506028 -21.060791 -46.126556
    Unten rechts KachelX + 1 28935 KachelY + 1 42254 -0.36748427 -0.80506028 -21.055298 -46.126556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80499383--0.80506028) × R
    6.64499999999402e-05 × 6371000     		dl = 423.352949999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80499383--0.80506028) × R
    6.64499999999402e-05 × 6371000     		dr = 423.352949999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36758015--0.36748427) × cos(-0.80499383) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.693115682533718 × 6371000     		do = 423.3907404869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36758015--0.36748427) × cos(-0.80506028) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.693067782091439 × 6371000     		du = 423.36148043084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80499383)-sin(-0.80506028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693115682533718-0.693067782091439)×R²
    abs(-0.36748427--0.36758015)×4.79004422795359e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79004422795359e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79004422795359e-05×40589641000000     		ar = 179237.525388249m²