Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28932 / 22188
↖ ↑ ↗
← N 50.134664°
W 21.071777°		 ← 391.51 m → N 50.134664°
W 21.066284°		 →
↑
391.50 m
↓
↑
391.50 m
↓
N 50.131143°
W 21.071777°		 ← 391.53 m →
153 279 m²		 N 50.131143°
W 21.066284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441474914550781 y=0.338569641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441474914550781 × 216)
    floor (0.441474914550781 × 65536)
    floor (28932.5)     		tx = 28932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338569641113281 × 216)
    floor (0.338569641113281 × 65536)
    floor (22188.5)     		ty = 22188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28932 / 22188 ti = "16/28932/22188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28932/22188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28932 ÷ 216
    28932 ÷ 65536     		x = 0.44146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22188 ÷ 216
    22188 ÷ 65536     		y = 0.33856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36777189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33856201171875 × 2 - 1) × π
    0.3228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36777189} λ = -0.36777189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01434479596039))-π/2
    2×atan(2.757556043489)-π/2
    2×1.22290564429013-π/2
    2.44581128858026-1.57079632675     		φ = 0.87501496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36777189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87501496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.134664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28932 KachelY 22188 -0.36777189 0.87501496 -21.071777 50.134664
    Oben rechts KachelX + 1 28933 KachelY 22188 -0.36767602 0.87501496 -21.066284 50.134664
    Unten links KachelX 28932 KachelY + 1 22189 -0.36777189 0.87495351 -21.071777 50.131143
    Unten rechts KachelX + 1 28933 KachelY + 1 22189 -0.36767602 0.87495351 -21.066284 50.131143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87501496-0.87495351) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dl = 391.497950000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87501496-0.87495351) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dr = 391.497950000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36777189--0.36767602) × cos(0.87501496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640985375640804 × 6371000     		do = 391.50602819025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36777189--0.36767602) × cos(0.87495351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641032540568031 × 6371000     		du = 391.534835950974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87501496)-sin(0.87495351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640985375640804-0.641032540568031)×R²
    abs(-0.36767602--0.36777189)×4.71649272274499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71649272274499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71649272274499e-05×40589641000000     		ar = 153279.446587008m²