Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28931 / 42257
↖ ↑ ↗
← S 46.137976°
W 21.077271°		 ← 423.27 m → S 46.137976°
W 21.071777°		 →
↑
423.23 m
↓
↑
423.23 m
↓
S 46.141783°
W 21.077271°		 ← 423.24 m →
179 134 m²		 S 46.141783°
W 21.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441459655761719 y=0.644798278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441459655761719 × 216)
    floor (0.441459655761719 × 65536)
    floor (28931.5)     		tx = 28931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644798278808594 × 216)
    floor (0.644798278808594 × 65536)
    floor (42257.5)     		ty = 42257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28931 / 42257 ti = "16/28931/42257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28931/42257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28931 ÷ 216
    28931 ÷ 65536     		x = 0.441452026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42257 ÷ 216
    42257 ÷ 65536     		y = 0.644790649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441452026367188 × 2 - 1) × π
    -0.117095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36786777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644790649414062 × 2 - 1) × π
    -0.289581298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.909746480989426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36786777} λ = -0.36786777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909746480989426))-π/2
    2×atan(0.402626284513234)-π/2
    2×0.382768363135201-π/2
    0.765536726270401-1.57079632675     		φ = -0.80525960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36786777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.077271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80525960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.137976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28931 KachelY 42257 -0.36786777 -0.80525960 -21.077271 -46.137976
    Oben rechts KachelX + 1 28932 KachelY 42257 -0.36777189 -0.80525960 -21.071777 -46.137976
    Unten links KachelX 28931 KachelY + 1 42258 -0.36786777 -0.80532603 -21.077271 -46.141783
    Unten rechts KachelX + 1 28932 KachelY + 1 42258 -0.36777189 -0.80532603 -21.071777 -46.141783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80525960--0.80532603) × R
    6.64300000000617e-05 × 6371000     		dl = 423.225530000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80525960--0.80532603) × R
    6.64300000000617e-05 × 6371000     		dr = 423.225530000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36786777--0.36777189) × cos(-0.80525960) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.692924084033892 × 6371000     		do = 423.273702259715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36786777--0.36777189) × cos(-0.80532603) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.692876185774147 × 6371000     		du = 423.24444353686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80525960)-sin(-0.80532603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692924084033892-0.692876185774147)×R²
    abs(-0.36777189--0.36786777)×4.78982597448274e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78982597448274e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78982597448274e-05×40589641000000     		ar = 179134.045520707m²