Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28930 / 42259
↖ ↑ ↗
← S 46.145589°
W 21.082764°		 ← 423.17 m → S 46.145589°
W 21.077271°		 →
↑
423.16 m
↓
↑
423.16 m
↓
S 46.149394°
W 21.082764°		 ← 423.14 m →
179 064 m²		 S 46.149394°
W 21.077271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441444396972656 y=0.644828796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441444396972656 × 216)
    floor (0.441444396972656 × 65536)
    floor (28930.5)     		tx = 28930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644828796386719 × 216)
    floor (0.644828796386719 × 65536)
    floor (42259.5)     		ty = 42259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28930 / 42259 ti = "16/28930/42259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28930/42259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28930 ÷ 216
    28930 ÷ 65536     		x = 0.441436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42259 ÷ 216
    42259 ÷ 65536     		y = 0.644821166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.11712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36796364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644821166992188 × 2 - 1) × π
    -0.289642333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.909938228587906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36796364} λ = -0.36796364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909938228587906))-π/2
    2×atan(0.40254908929133)-π/2
    2×0.382701934462967-π/2
    0.765403868925933-1.57079632675     		φ = -0.80539246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36796364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.082764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80539246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.145589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28930 KachelY 42259 -0.36796364 -0.80539246 -21.082764 -46.145589
    Oben rechts KachelX + 1 28931 KachelY 42259 -0.36786777 -0.80539246 -21.077271 -46.145589
    Unten links KachelX 28930 KachelY + 1 42260 -0.36796364 -0.80545888 -21.082764 -46.149394
    Unten rechts KachelX + 1 28931 KachelY + 1 42260 -0.36786777 -0.80545888 -21.077271 -46.149394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80539246--0.80545888) × R
    6.64200000000115e-05 × 6371000     		dl = 423.161820000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80539246--0.80545888) × R
    6.64200000000115e-05 × 6371000     		dr = 423.161820000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36796364--0.36786777) × cos(-0.80539246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692828284456778 × 6371000     		do = 423.171042856272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36796364--0.36786777) × cos(-0.80545888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692780387293482 × 6371000     		du = 423.141787854713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80539246)-sin(-0.80545888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692828284456778-0.692780387293482)×R²
    abs(-0.36786777--0.36796364)×4.78971632958958e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78971632958958e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78971632958958e-05×40589641000000     		ar = 179063.63893249m²