Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28930 / 20738
↖ ↑ ↗
← N 76.678519°
W100.541382°		 ← 70.37 m → N 76.678519°
W100.538635°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.677886°
W100.541382°		 ← 70.38 m →
4 954 m²		 N 76.677886°
W100.538635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220722198486328 y=0.158222198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220722198486328 × 217)
    floor (0.220722198486328 × 131072)
    floor (28930.5)     		tx = 28930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158222198486328 × 217)
    floor (0.158222198486328 × 131072)
    floor (20738.5)     		ty = 20738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28930 / 20738 ti = "17/28930/20738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28930/20738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28930 ÷ 217
    28930 ÷ 131072     		x = 0.220718383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20738 ÷ 217
    20738 ÷ 131072     		y = 0.158218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220718383789062 × 2 - 1) × π
    -0.558563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75477815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158218383789062 × 2 - 1) × π
    0.683563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14747722917928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75477815} λ = -1.75477815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14747722917928))-π/2
    2×atan(8.56322806257389)-π/2
    2×1.45454447668536-π/2
    2.90908895337072-1.57079632675     		φ = 1.33829263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75477815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.541382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33829263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.678519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28930 KachelY 20738 -1.75477815 1.33829263 -100.541382 76.678519
    Oben rechts KachelX + 1 28931 KachelY 20738 -1.75473021 1.33829263 -100.538635 76.678519
    Unten links KachelX 28930 KachelY + 1 20739 -1.75477815 1.33828158 -100.541382 76.677886
    Unten rechts KachelX + 1 28931 KachelY + 1 20739 -1.75473021 1.33828158 -100.538635 76.677886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33829263-1.33828158) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dl = 70.3995499993719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33829263-1.33828158) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dr = 70.3995499993719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75477815--1.75473021) × cos(1.33829263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230414571882897 × 6371000     		do = 70.3745411240709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75477815--1.75473021) × cos(1.33828158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230425324541588 × 6371000     		du = 70.3778252628085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33829263)-sin(1.33828158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230414571882897-0.230425324541588)×R²
    abs(-1.75473021--1.75477815)×1.07526586907158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07526586907158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07526586907158e-05×40589641000000     		ar = 4954.45162748102m²