Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28929 / 40778
↖ ↑ ↗
← S 40.220830°
W 21.088257°		 ← 466.42 m → S 40.220830°
W 21.082764°		 →
↑
466.36 m
↓
↑
466.36 m
↓
S 40.225024°
W 21.088257°		 ← 466.39 m →
217 513 m²		 S 40.225024°
W 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441429138183594 y=0.622230529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441429138183594 × 216)
    floor (0.441429138183594 × 65536)
    floor (28929.5)     		tx = 28929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622230529785156 × 216)
    floor (0.622230529785156 × 65536)
    floor (40778.5)     		ty = 40778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28929 / 40778 ti = "16/28929/40778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28929/40778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28929 ÷ 216
    28929 ÷ 65536     		x = 0.441421508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40778 ÷ 216
    40778 ÷ 65536     		y = 0.622222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441421508789062 × 2 - 1) × π
    -0.117156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36805952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.24444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.7679491319133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36805952} λ = -0.36805952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7679491319133))-π/2
    2×atan(0.46396362143311)-π/2
    2×0.434405207950451-π/2
    0.868810415900902-1.57079632675     		φ = -0.70198591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36805952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.088257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70198591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.220830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28929 KachelY 40778 -0.36805952 -0.70198591 -21.088257 -40.220830
    Oben rechts KachelX + 1 28930 KachelY 40778 -0.36796364 -0.70198591 -21.082764 -40.220830
    Unten links KachelX 28929 KachelY + 1 40779 -0.36805952 -0.70205911 -21.088257 -40.225024
    Unten rechts KachelX + 1 28930 KachelY + 1 40779 -0.36796364 -0.70205911 -21.082764 -40.225024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70198591--0.70205911) × R
    7.31999999999955e-05 × 6371000     		dl = 466.357199999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70198591--0.70205911) × R
    7.31999999999955e-05 × 6371000     		dr = 466.357199999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36805952--0.36796364) × cos(-0.70198591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.763561321571609 × 6371000     		do = 466.422563352738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36805952--0.36796364) × cos(-0.70205911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.763514051700288 × 6371000     		du = 466.393688481882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70198591)-sin(-0.70205911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763561321571609-0.763514051700288)×R²
    abs(-0.36796364--0.36805952)×4.72698713208652e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72698713208652e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72698713208652e-05×40589641000000     		ar = 217512.787757308m²