Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28928 / 24319
↖ ↑ ↗
← N 74.212730°
W100.546875°		 ← 83.10 m → N 74.212730°
W100.544128°		 →
↑
83.08 m
↓
↑
83.08 m
↓
N 74.211983°
W100.546875°		 ← 83.10 m →
6 904 m²		 N 74.211983°
W100.544128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220706939697266 y=0.185543060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220706939697266 × 217)
    floor (0.220706939697266 × 131072)
    floor (28928.5)     		tx = 28928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185543060302734 × 217)
    floor (0.185543060302734 × 131072)
    floor (24319.5)     		ty = 24319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28928 / 24319 ti = "17/28928/24319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28928/24319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28928 ÷ 217
    28928 ÷ 131072     		x = 0.220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24319 ÷ 217
    24319 ÷ 131072     		y = 0.185539245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220703125 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185539245605469 × 2 - 1) × π
    0.628921508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.97581519163985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75487402} λ = -1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97581519163985))-π/2
    2×atan(7.21249682509885)-π/2
    2×1.43302640421925-π/2
    2.86605280843851-1.57079632675     		φ = 1.29525648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29525648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.212730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28928 KachelY 24319 -1.75487402 1.29525648 -100.546875 74.212730
    Oben rechts KachelX + 1 28929 KachelY 24319 -1.75482608 1.29525648 -100.544128 74.212730
    Unten links KachelX 28928 KachelY + 1 24320 -1.75487402 1.29524344 -100.546875 74.211983
    Unten rechts KachelX + 1 28929 KachelY + 1 24320 -1.75482608 1.29524344 -100.544128 74.211983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29525648-1.29524344) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dl = 83.0778400001255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29525648-1.29524344) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dr = 83.0778400001255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75487402--1.75482608) × cos(1.29525648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.272066459520064 × 6371000     		do = 83.096099728041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75487402--1.75482608) × cos(1.29524344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.272079007608098 × 6371000     		du = 83.0999322371144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29525648)-sin(1.29524344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272066459520064-0.272079007608098)×R²
    abs(-1.75482608--1.75487402)×1.25480880343587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.25480880343587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25480880343587e-05×40589641000000     		ar = 6903.60367636901m²