Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28928 / 19200
↖ ↑ ↗
← N 77.617709°
W100.546875°		 ← 65.49 m → N 77.617709°
W100.544128°		 →
↑
65.49 m
↓
↑
65.49 m
↓
N 77.617120°
W100.546875°		 ← 65.50 m →
4 290 m²		 N 77.617120°
W100.544128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220706939697266 y=0.146488189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220706939697266 × 217)
    floor (0.220706939697266 × 131072)
    floor (28928.5)     		tx = 28928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146488189697266 × 217)
    floor (0.146488189697266 × 131072)
    floor (19200.5)     		ty = 19200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28928 / 19200 ti = "17/28928/19200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28928/19200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28928 ÷ 217
    28928 ÷ 131072     		x = 0.220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19200 ÷ 217
    19200 ÷ 131072     		y = 0.146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220703125 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146484375 × 2 - 1) × π
    0.70703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22120418079492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75487402} λ = -1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22120418079492))-π/2
    2×atan(9.21842483511521)-π/2
    2×1.4627404538038-π/2
    2.9254809076076-1.57079632675     		φ = 1.35468458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35468458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.617709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28928 KachelY 19200 -1.75487402 1.35468458 -100.546875 77.617709
    Oben rechts KachelX + 1 28929 KachelY 19200 -1.75482608 1.35468458 -100.544128 77.617709
    Unten links KachelX 28928 KachelY + 1 19201 -1.75487402 1.35467430 -100.546875 77.617120
    Unten rechts KachelX + 1 28929 KachelY + 1 19201 -1.75482608 1.35467430 -100.544128 77.617120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35468458-1.35467430) × R
    1.02799999999181e-05 × 6371000     		dl = 65.4938799994784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35468458-1.35467430) × R
    1.02799999999181e-05 × 6371000     		dr = 65.4938799994784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75487402--1.75482608) × cos(1.35468458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214433446605324 × 6371000     		do = 65.4934941101388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75487402--1.75482608) × cos(1.35467430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214443487466824 × 6371000     		du = 65.4965608476925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35468458)-sin(1.35467430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214433446605324-0.214443487466824)×R²
    abs(-1.75482608--1.75487402)×1.00408614996106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00408614996106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00408614996106e-05×40589641000000     		ar = 4289.52347032579m²