Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28927 / 42238
↖ ↑ ↗
← S 46.065608°
W 21.099243°		 ← 423.79 m → S 46.065608°
W 21.093750°		 →
↑
423.80 m
↓
↑
423.80 m
↓
S 46.069420°
W 21.099243°		 ← 423.76 m →
179 594 m²		 S 46.069420°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441398620605469 y=0.644508361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441398620605469 × 216)
    floor (0.441398620605469 × 65536)
    floor (28927.5)     		tx = 28927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644508361816406 × 216)
    floor (0.644508361816406 × 65536)
    floor (42238.5)     		ty = 42238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28927 / 42238 ti = "16/28927/42238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28927/42238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28927 ÷ 216
    28927 ÷ 65536     		x = 0.441390991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42238 ÷ 216
    42238 ÷ 65536     		y = 0.644500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441390991210938 × 2 - 1) × π
    -0.117218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36825126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.28900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907924878803864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36825126} λ = -0.36825126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907924878803864))-π/2
    2×atan(0.403360377843084)-π/2
    2×0.383399893613571-π/2
    0.766799787227141-1.57079632675     		φ = -0.80399654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36825126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.099243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80399654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.065608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28927 KachelY 42238 -0.36825126 -0.80399654 -21.099243 -46.065608
    Oben rechts KachelX + 1 28928 KachelY 42238 -0.36815539 -0.80399654 -21.093750 -46.065608
    Unten links KachelX 28927 KachelY + 1 42239 -0.36825126 -0.80406306 -21.099243 -46.069420
    Unten rechts KachelX + 1 28928 KachelY + 1 42239 -0.36815539 -0.80406306 -21.093750 -46.069420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80399654--0.80406306) × R
    6.65200000000699e-05 × 6371000     		dl = 423.798920000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80399654--0.80406306) × R
    6.65200000000699e-05 × 6371000     		dr = 423.798920000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36825126--0.36815539) × cos(-0.80399654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693834210659576 × 6371000     		do = 423.785450278464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36825126--0.36815539) × cos(-0.80406306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693786305759581 × 6371000     		du = 423.756190551423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80399654)-sin(-0.80406306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693834210659576-0.693786305759581)×R²
    abs(-0.36815539--0.36825126)×4.79048999956211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79048999956211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79048999956211e-05×40589641000000     		ar = 179593.616085971m²