Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28927 / 40776
↖ ↑ ↗
← S 40.212441°
W 21.099243°		 ← 466.43 m → S 40.212441°
W 21.093750°		 →
↑
466.42 m
↓
↑
466.42 m
↓
S 40.216635°
W 21.099243°		 ← 466.40 m →
217 547 m²		 S 40.216635°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441398620605469 y=0.622200012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441398620605469 × 216)
    floor (0.441398620605469 × 65536)
    floor (28927.5)     		tx = 28927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622200012207031 × 216)
    floor (0.622200012207031 × 65536)
    floor (40776.5)     		ty = 40776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28927 / 40776 ti = "16/28927/40776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28927/40776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28927 ÷ 216
    28927 ÷ 65536     		x = 0.441390991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40776 ÷ 216
    40776 ÷ 65536     		y = 0.6221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441390991210938 × 2 - 1) × π
    -0.117218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36825126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.767757384314819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36825126} λ = -0.36825126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767757384314819))-π/2
    2×atan(0.464052593873156)-π/2
    2×0.434478418007261-π/2
    0.868956836014522-1.57079632675     		φ = -0.70183949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36825126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.099243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70183949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.212441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28927 KachelY 40776 -0.36825126 -0.70183949 -21.099243 -40.212441
    Oben rechts KachelX + 1 28928 KachelY 40776 -0.36815539 -0.70183949 -21.093750 -40.212441
    Unten links KachelX 28927 KachelY + 1 40777 -0.36825126 -0.70191270 -21.099243 -40.216635
    Unten rechts KachelX + 1 28928 KachelY + 1 40777 -0.36815539 -0.70191270 -21.093750 -40.216635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70183949--0.70191270) × R
    7.32099999999347e-05 × 6371000     		dl = 466.420909999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70183949--0.70191270) × R
    7.32099999999347e-05 × 6371000     		dr = 466.420909999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36825126--0.36815539) × cos(-0.70183949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763655861952434 × 6371000     		do = 466.431660969344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36825126--0.36815539) × cos(-0.70191270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763608593808379 × 6371000     		du = 466.402790165046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70183949)-sin(-0.70191270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763655861952434-0.763608593808379)×R²
    abs(-0.36815539--0.36825126)×4.72681440540912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72681440540912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72681440540912e-05×40589641000000     		ar = 217546.746885528m²