Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28925 / 43480
↖ ↑ ↗
← S 50.597186°
W 21.110229°		 ← 387.71 m → S 50.597186°
W 21.104737°		 →
↑
387.74 m
↓
↑
387.74 m
↓
S 50.600673°
W 21.110229°		 ← 387.68 m →
150 324 m²		 S 50.600673°
W 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441368103027344 y=0.663459777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441368103027344 × 216)
    floor (0.441368103027344 × 65536)
    floor (28925.5)     		tx = 28925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663459777832031 × 216)
    floor (0.663459777832031 × 65536)
    floor (43480.5)     		ty = 43480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28925 / 43480 ti = "16/28925/43480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28925/43480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28925 ÷ 216
    28925 ÷ 65536     		x = 0.441360473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43480 ÷ 216
    43480 ÷ 65536     		y = 0.6634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441360473632812 × 2 - 1) × π
    -0.117279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36844301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02700013746008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36844301} λ = -0.36844301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02700013746008))-π/2
    2×atan(0.358079540368268)-π/2
    2×0.343854417422524-π/2
    0.687708834845047-1.57079632675     		φ = -0.88308749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36844301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.110229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88308749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.597186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28925 KachelY 43480 -0.36844301 -0.88308749 -21.110229 -50.597186
    Oben rechts KachelX + 1 28926 KachelY 43480 -0.36834714 -0.88308749 -21.104737 -50.597186
    Unten links KachelX 28925 KachelY + 1 43481 -0.36844301 -0.88314835 -21.110229 -50.600673
    Unten rechts KachelX + 1 28926 KachelY + 1 43481 -0.36834714 -0.88314835 -21.104737 -50.600673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88308749--0.88314835) × R
    6.08600000000514e-05 × 6371000     		dl = 387.739060000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88308749--0.88314835) × R
    6.08600000000514e-05 × 6371000     		dr = 387.739060000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36844301--0.36834714) × cos(-0.88308749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634768462548737 × 6371000     		do = 387.708813706463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36844301--0.36834714) × cos(-0.88314835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63472143470513 × 6371000     		du = 387.680089674739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88308749)-sin(-0.88314835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634768462548737-0.63472143470513)×R²
    abs(-0.36834714--0.36844301)×4.70278436065508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70278436065508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70278436065508e-05×40589641000000     		ar = 150324.282312103m²