Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28925 / 42251
↖ ↑ ↗
← S 46.115134°
W 21.110229°		 ← 423.41 m → S 46.115134°
W 21.104737°		 →
↑
423.42 m
↓
↑
423.42 m
↓
S 46.118942°
W 21.110229°		 ← 423.38 m →
179 271 m²		 S 46.118942°
W 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441368103027344 y=0.644706726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441368103027344 × 216)
    floor (0.441368103027344 × 65536)
    floor (28925.5)     		tx = 28925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644706726074219 × 216)
    floor (0.644706726074219 × 65536)
    floor (42251.5)     		ty = 42251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28925 / 42251 ti = "16/28925/42251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28925/42251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28925 ÷ 216
    28925 ÷ 65536     		x = 0.441360473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42251 ÷ 216
    42251 ÷ 65536     		y = 0.644699096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441360473632812 × 2 - 1) × π
    -0.117279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36844301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644699096679688 × 2 - 1) × π
    -0.289398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.909171238193985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36844301} λ = -0.36844301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909171238193985))-π/2
    2×atan(0.40285795901081)-π/2
    2×0.382967704259495-π/2
    0.76593540851899-1.57079632675     		φ = -0.80486092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36844301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.110229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80486092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.115134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28925 KachelY 42251 -0.36844301 -0.80486092 -21.110229 -46.115134
    Oben rechts KachelX + 1 28926 KachelY 42251 -0.36834714 -0.80486092 -21.104737 -46.115134
    Unten links KachelX 28925 KachelY + 1 42252 -0.36844301 -0.80492738 -21.110229 -46.118942
    Unten rechts KachelX + 1 28926 KachelY + 1 42252 -0.36834714 -0.80492738 -21.104737 -46.118942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80486092--0.80492738) × R
    6.64599999999904e-05 × 6371000     		dl = 423.416659999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80486092--0.80492738) × R
    6.64599999999904e-05 × 6371000     		dr = 423.416659999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36844301--0.36834714) × cos(-0.80486092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693211481443839 × 6371000     		do = 423.405094889469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36844301--0.36834714) × cos(-0.80492738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693163579915475 × 6371000     		du = 423.37583722178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80486092)-sin(-0.80492738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693211481443839-0.693163579915475)×R²
    abs(-0.36834714--0.36844301)×4.79015283638695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79015283638695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79015283638695e-05×40589641000000     		ar = 179270.577079262m²