Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28924 / 42227
↖ ↑ ↗
← S 46.023668°
W 21.115722°		 ← 424.11 m → S 46.023668°
W 21.110229°		 →
↑
424.05 m
↓
↑
424.05 m
↓
S 46.027482°
W 21.115722°		 ← 424.08 m →
179 838 m²		 S 46.027482°
W 21.110229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441352844238281 y=0.644340515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441352844238281 × 216)
    floor (0.441352844238281 × 65536)
    floor (28924.5)     		tx = 28924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644340515136719 × 216)
    floor (0.644340515136719 × 65536)
    floor (42227.5)     		ty = 42227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28924 / 42227 ti = "16/28924/42227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28924/42227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28924 ÷ 216
    28924 ÷ 65536     		x = 0.44134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42227 ÷ 216
    42227 ÷ 65536     		y = 0.644332885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36853888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644332885742188 × 2 - 1) × π
    -0.288665771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.906870267012222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36853888} λ = -0.36853888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906870267012222))-π/2
    2×atan(0.403785990842635)-π/2
    2×0.383765895415822-π/2
    0.767531790831645-1.57079632675     		φ = -0.80326454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36853888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.115722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80326454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.023668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28924 KachelY 42227 -0.36853888 -0.80326454 -21.115722 -46.023668
    Oben rechts KachelX + 1 28925 KachelY 42227 -0.36844301 -0.80326454 -21.110229 -46.023668
    Unten links KachelX 28924 KachelY + 1 42228 -0.36853888 -0.80333110 -21.115722 -46.027482
    Unten rechts KachelX + 1 28925 KachelY + 1 42228 -0.36844301 -0.80333110 -21.110229 -46.027482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80326454--0.80333110) × R
    6.65599999999378e-05 × 6371000     		dl = 424.053759999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80326454--0.80333110) × R
    6.65599999999378e-05 × 6371000     		dr = 424.053759999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36853888--0.36844301) × cos(-0.80326454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694361163378225 × 6371000     		do = 424.107306554383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36853888--0.36844301) × cos(-0.80333110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694313263487598 × 6371000     		du = 424.078049887003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80326454)-sin(-0.80333110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694361163378225-0.694313263487598)×R²
    abs(-0.36844301--0.36853888)×4.78998906268124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78998906268124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78998906268124e-05×40589641000000     		ar = 179838.094854007m²