Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28923 / 22189
↖ ↑ ↗
← N 50.131143°
W 21.121216°		 ← 391.58 m → N 50.131143°
W 21.115722°		 →
↑
391.56 m
↓
↑
391.56 m
↓
N 50.127622°
W 21.121216°		 ← 391.60 m →
153 332 m²		 N 50.127622°
W 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441337585449219 y=0.338584899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441337585449219 × 216)
    floor (0.441337585449219 × 65536)
    floor (28923.5)     		tx = 28923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338584899902344 × 216)
    floor (0.338584899902344 × 65536)
    floor (22189.5)     		ty = 22189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28923 / 22189 ti = "16/28923/22189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28923/22189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28923 ÷ 216
    28923 ÷ 65536     		x = 0.441329956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22189 ÷ 216
    22189 ÷ 65536     		y = 0.338577270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441329956054688 × 2 - 1) × π
    -0.117340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36863476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338577270507812 × 2 - 1) × π
    0.322845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01424892216115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36863476} λ = -0.36863476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01424892216115))-π/2
    2×atan(2.75729167878752)-π/2
    2×1.22287491630801-π/2
    2.44574983261602-1.57079632675     		φ = 0.87495351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36863476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.121216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87495351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.131143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28923 KachelY 22189 -0.36863476 0.87495351 -21.121216 50.131143
    Oben rechts KachelX + 1 28924 KachelY 22189 -0.36853888 0.87495351 -21.115722 50.131143
    Unten links KachelX 28923 KachelY + 1 22190 -0.36863476 0.87489205 -21.121216 50.127622
    Unten rechts KachelX + 1 28924 KachelY + 1 22190 -0.36853888 0.87489205 -21.115722 50.127622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87495351-0.87489205) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dl = 391.56165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87495351-0.87489205) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dr = 391.56165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36863476--0.36853888) × cos(0.87495351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641032540568031 × 6371000     		do = 391.575676134112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36863476--0.36853888) × cos(0.87489205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641079710749398 × 6371000     		du = 391.604490109211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87495351)-sin(0.87489205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641032540568031-0.641079710749398)×R²
    abs(-0.36853888--0.36863476)×4.71701813660186e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71701813660186e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71701813660186e-05×40589641000000     		ar = 153331.663034854m²