Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28923 / 22181
↖ ↑ ↗
← N 50.159305°
W 21.121216°		 ← 391.35 m → N 50.159305°
W 21.115722°		 →
↑
391.37 m
↓
↑
391.37 m
↓
N 50.155786°
W 21.121216°		 ← 391.37 m →
153 167 m²		 N 50.155786°
W 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441337585449219 y=0.338462829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441337585449219 × 216)
    floor (0.441337585449219 × 65536)
    floor (28923.5)     		tx = 28923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338462829589844 × 216)
    floor (0.338462829589844 × 65536)
    floor (22181.5)     		ty = 22181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28923 / 22181 ti = "16/28923/22181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28923/22181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28923 ÷ 216
    28923 ÷ 65536     		x = 0.441329956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22181 ÷ 216
    22181 ÷ 65536     		y = 0.338455200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441329956054688 × 2 - 1) × π
    -0.117340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36863476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338455200195312 × 2 - 1) × π
    0.323089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01501591255507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36863476} λ = -0.36863476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01501591255507))-π/2
    2×atan(2.75940730624765)-π/2
    2×1.22312067685602-π/2
    2.44624135371204-1.57079632675     		φ = 0.87544503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36863476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.121216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87544503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.159305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28923 KachelY 22181 -0.36863476 0.87544503 -21.121216 50.159305
    Oben rechts KachelX + 1 28924 KachelY 22181 -0.36853888 0.87544503 -21.115722 50.159305
    Unten links KachelX 28923 KachelY + 1 22182 -0.36863476 0.87538360 -21.121216 50.155786
    Unten rechts KachelX + 1 28924 KachelY + 1 22182 -0.36853888 0.87538360 -21.115722 50.155786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87544503-0.87538360) × R
    6.14299999999179e-05 × 6371000     		dl = 391.370529999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87544503-0.87538360) × R
    6.14299999999179e-05 × 6371000     		dr = 391.370529999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36863476--0.36853888) × cos(0.87544503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640655214814542 × 6371000     		do = 391.345186139151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36863476--0.36853888) × cos(0.87538360) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640702381322078 × 6371000     		du = 391.373997870086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87544503)-sin(0.87538360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640655214814542-0.640702381322078)×R²
    abs(-0.36853888--0.36863476)×4.71665075361116e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71665075361116e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71665075361116e-05×40589641000000     		ar = 153166.610991558m²