Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28921 / 29466
↖ ↑ ↗
← N 69.875562°
W100.566101°		 ← 105.08 m → N 69.875562°
W100.563354°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 69.874617°
W100.566101°		 ← 105.09 m →
11 047 m²		 N 69.874617°
W100.563354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220653533935547 y=0.224811553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220653533935547 × 217)
    floor (0.220653533935547 × 131072)
    floor (28921.5)     		tx = 28921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224811553955078 × 217)
    floor (0.224811553955078 × 131072)
    floor (29466.5)     		ty = 29466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28921 / 29466 ti = "17/28921/29466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28921/29466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28921 ÷ 217
    28921 ÷ 131072     		x = 0.220649719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29466 ÷ 217
    29466 ÷ 131072     		y = 0.224807739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220649719238281 × 2 - 1) × π
    -0.558700561523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.75520958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224807739257812 × 2 - 1) × π
    0.550384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72908396929543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75520958} λ = -1.75520958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72908396929543))-π/2
    2×atan(5.63548926210277)-π/2
    2×1.39517747753077-π/2
    2.79035495506154-1.57079632675     		φ = 1.21955863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75520958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.566101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21955863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.875562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28921 KachelY 29466 -1.75520958 1.21955863 -100.566101 69.875562
    Oben rechts KachelX + 1 28922 KachelY 29466 -1.75516164 1.21955863 -100.563354 69.875562
    Unten links KachelX 28921 KachelY + 1 29467 -1.75520958 1.21954213 -100.566101 69.874617
    Unten rechts KachelX + 1 28922 KachelY + 1 29467 -1.75516164 1.21954213 -100.563354 69.874617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21955863-1.21954213) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21955863-1.21954213) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75520958--1.75516164) × cos(1.21955863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344060203113108 × 6371000     		do = 105.084842140302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75520958--1.75516164) × cos(1.21954213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344075695701506 × 6371000     		du = 105.089573975578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21955863)-sin(1.21954213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344060203113108-0.344075695701506)×R²
    abs(-1.75516164--1.75520958)×1.54925883980583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54925883980583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54925883980583e-05×40589641000000     		ar = 11046.9249421979m²