Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28920 / 43477
↖ ↑ ↗
← S 50.586724°
W 21.137695°		 ← 387.79 m → S 50.586724°
W 21.132202°		 →
↑
387.80 m
↓
↑
387.80 m
↓
S 50.590212°
W 21.137695°		 ← 387.77 m →
150 382 m²		 S 50.590212°
W 21.132202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441291809082031 y=0.663414001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441291809082031 × 216)
    floor (0.441291809082031 × 65536)
    floor (28920.5)     		tx = 28920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663414001464844 × 216)
    floor (0.663414001464844 × 65536)
    floor (43477.5)     		ty = 43477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28920 / 43477 ti = "16/28920/43477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28920/43477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28920 ÷ 216
    28920 ÷ 65536     		x = 0.4412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43477 ÷ 216
    43477 ÷ 65536     		y = 0.663406372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663406372070312 × 2 - 1) × π
    -0.326812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02671251606236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36892238} λ = -0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02671251606236))-π/2
    2×atan(0.35818254651884)-π/2
    2×0.343945714062782-π/2
    0.687891428125564-1.57079632675     		φ = -0.88290490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88290490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.586724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28920 KachelY 43477 -0.36892238 -0.88290490 -21.137695 -50.586724
    Oben rechts KachelX + 1 28921 KachelY 43477 -0.36882651 -0.88290490 -21.132202 -50.586724
    Unten links KachelX 28920 KachelY + 1 43478 -0.36892238 -0.88296577 -21.137695 -50.590212
    Unten rechts KachelX + 1 28921 KachelY + 1 43478 -0.36882651 -0.88296577 -21.132202 -50.590212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88290490--0.88296577) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dl = 387.80276999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88290490--0.88296577) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dr = 387.80276999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36892238--0.36882651) × cos(-0.88290490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		do = 387.794981903774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36892238--0.36882651) × cos(-0.88296577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634862511182343 × 6371000     		du = 387.766257461655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88290490)-sin(-0.88296577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63490953969786-0.634862511182343)×R²
    abs(-0.36882651--0.36892238)×4.70285155167449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70285155167449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70285155167449e-05×40589641000000     		ar = 150382.398511505m²