Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28918 / 28804
↖ ↑ ↗
← N 70.491905°
W100.574341°		 ← 101.99 m → N 70.491905°
W100.571594°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 70.490988°
W100.574341°		 ← 102 m →
10 404 m²		 N 70.490988°
W100.571594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220630645751953 y=0.219760894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220630645751953 × 217)
    floor (0.220630645751953 × 131072)
    floor (28918.5)     		tx = 28918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219760894775391 × 217)
    floor (0.219760894775391 × 131072)
    floor (28804.5)     		ty = 28804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28918 / 28804 ti = "17/28918/28804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28918/28804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28918 ÷ 217
    28918 ÷ 131072     		x = 0.220626831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28804 ÷ 217
    28804 ÷ 131072     		y = 0.219757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220626831054688 × 2 - 1) × π
    -0.558746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75535339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219757080078125 × 2 - 1) × π
    0.56048583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7608181968439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75535339} λ = -1.75535339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7608181968439))-π/2
    2×atan(5.8171950584215)-π/2
    2×1.40055608336786-π/2
    2.80111216673571-1.57079632675     		φ = 1.23031584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75535339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23031584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.491905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28918 KachelY 28804 -1.75535339 1.23031584 -100.574341 70.491905
    Oben rechts KachelX + 1 28919 KachelY 28804 -1.75530545 1.23031584 -100.571594 70.491905
    Unten links KachelX 28918 KachelY + 1 28805 -1.75535339 1.23029983 -100.574341 70.490988
    Unten rechts KachelX + 1 28919 KachelY + 1 28805 -1.75530545 1.23029983 -100.571594 70.490988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23031584-1.23029983) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23031584-1.23029983) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75535339--1.75530545) × cos(1.23031584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333940034795323 × 6371000     		do = 101.99388224292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75535339--1.75530545) × cos(1.23029983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333955125687597 × 6371000     		du = 101.99849138986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23031584)-sin(1.23029983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333940034795323-0.333955125687597)×R²
    abs(-1.75530545--1.75535339)×1.50908922737503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50908922737503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50908922737503e-05×40589641000000     		ar = 10403.581476392m²