Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28917 / 42278
↖ ↑ ↗
← S 46.217852°
W 21.154175°		 ← 422.62 m → S 46.217852°
W 21.148682°		 →
↑
422.59 m
↓
↑
422.59 m
↓
S 46.221652°
W 21.154175°		 ← 422.59 m →
178 586 m²		 S 46.221652°
W 21.148682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441246032714844 y=0.645118713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441246032714844 × 216)
    floor (0.441246032714844 × 65536)
    floor (28917.5)     		tx = 28917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645118713378906 × 216)
    floor (0.645118713378906 × 65536)
    floor (42278.5)     		ty = 42278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28917 / 42278 ti = "16/28917/42278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28917/42278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28917 ÷ 216
    28917 ÷ 65536     		x = 0.441238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42278 ÷ 216
    42278 ÷ 65536     		y = 0.645111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441238403320312 × 2 - 1) × π
    -0.117523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36921000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.29022216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.911759830773468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36921000} λ = -0.36921000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911759830773468))-π/2
    2×atan(0.401816472461273)-π/2
    2×0.382071320136533-π/2
    0.764142640273065-1.57079632675     		φ = -0.80665369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36921000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.154175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80665369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.217852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28917 KachelY 42278 -0.36921000 -0.80665369 -21.154175 -46.217852
    Oben rechts KachelX + 1 28918 KachelY 42278 -0.36911413 -0.80665369 -21.148682 -46.217852
    Unten links KachelX 28917 KachelY + 1 42279 -0.36921000 -0.80672002 -21.154175 -46.221652
    Unten rechts KachelX + 1 28918 KachelY + 1 42279 -0.36911413 -0.80672002 -21.148682 -46.221652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80665369--0.80672002) × R
    6.63300000000033e-05 × 6371000     		dl = 422.588430000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80665369--0.80672002) × R
    6.63300000000033e-05 × 6371000     		dr = 422.588430000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36921000--0.36911413) × cos(-0.80665369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69191825741695 × 6371000     		do = 422.615209469975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36921000--0.36911413) × cos(-0.80672002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691870367236883 × 6371000     		du = 422.585958733688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80665369)-sin(-0.80672002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69191825741695-0.691870367236883)×R²
    abs(-0.36911413--0.36921000)×4.78901800664566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78901800664566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78901800664566e-05×40589641000000     		ar = 178586.11741814m²