Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28916 / 42274
↖ ↑ ↗
← S 46.202646°
W 21.159668°		 ← 422.73 m → S 46.202646°
W 21.154175°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
S 46.206448°
W 21.159668°		 ← 422.70 m →
178 716 m²		 S 46.206448°
W 21.154175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441230773925781 y=0.645057678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441230773925781 × 216)
    floor (0.441230773925781 × 65536)
    floor (28916.5)     		tx = 28916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645057678222656 × 216)
    floor (0.645057678222656 × 65536)
    floor (42274.5)     		ty = 42274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28916 / 42274 ti = "16/28916/42274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28916/42274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28916 ÷ 216
    28916 ÷ 65536     		x = 0.44122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42274 ÷ 216
    42274 ÷ 65536     		y = 0.645050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.1175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36930587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.29010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.911376335576508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36930587} λ = -0.36930587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911376335576508))-π/2
    2×atan(0.401970596699585)-π/2
    2×0.382204012168318-π/2
    0.764408024336637-1.57079632675     		φ = -0.80638830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36930587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80638830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.202646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28916 KachelY 42274 -0.36930587 -0.80638830 -21.159668 -46.202646
    Oben rechts KachelX + 1 28917 KachelY 42274 -0.36921000 -0.80638830 -21.154175 -46.202646
    Unten links KachelX 28916 KachelY + 1 42275 -0.36930587 -0.80645466 -21.159668 -46.206448
    Unten rechts KachelX + 1 28917 KachelY + 1 42275 -0.36921000 -0.80645466 -21.154175 -46.206448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80638830--0.80645466) × R
    6.63600000000431e-05 × 6371000     		dl = 422.779560000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80638830--0.80645466) × R
    6.63600000000431e-05 × 6371000     		dr = 422.779560000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36930587--0.36921000) × cos(-0.80638830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692109838218451 × 6371000     		do = 422.732224680499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36930587--0.36921000) × cos(-0.80645466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692061938564564 × 6371000     		du = 422.702968157718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80638830)-sin(-0.80645466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692109838218451-0.692061938564564)×R²
    abs(-0.36921000--0.36930587)×4.78996538872956e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78996538872956e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78996538872956e-05×40589641000000     		ar = 178716.359484275m²