Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28913 / 20559
↖ ↑ ↗
← N 76.791328°
W100.588073°		 ← 69.77 m → N 76.791328°
W100.585327°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.790701°
W100.588073°		 ← 69.78 m →
4 868 m²		 N 76.790701°
W100.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220592498779297 y=0.156856536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220592498779297 × 217)
    floor (0.220592498779297 × 131072)
    floor (28913.5)     		tx = 28913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156856536865234 × 217)
    floor (0.156856536865234 × 131072)
    floor (20559.5)     		ty = 20559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28913 / 20559 ti = "17/28913/20559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28913/20559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28913 ÷ 217
    28913 ÷ 131072     		x = 0.220588684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20559 ÷ 217
    20559 ÷ 131072     		y = 0.156852722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220588684082031 × 2 - 1) × π
    -0.558822631835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75559307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156852722167969 × 2 - 1) × π
    0.686294555664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.15605793421127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75559307} λ = -1.75559307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15605793421127))-π/2
    2×atan(8.63702274913755)-π/2
    2×1.45552892011544-π/2
    2.91105784023088-1.57079632675     		φ = 1.34026151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75559307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.588073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34026151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.791328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28913 KachelY 20559 -1.75559307 1.34026151 -100.588073 76.791328
    Oben rechts KachelX + 1 28914 KachelY 20559 -1.75554514 1.34026151 -100.585327 76.791328
    Unten links KachelX 28913 KachelY + 1 20560 -1.75559307 1.34025056 -100.588073 76.790701
    Unten rechts KachelX + 1 28914 KachelY + 1 20560 -1.75554514 1.34025056 -100.585327 76.790701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34026151-1.34025056) × R
    1.0949999999843e-05 × 6371000     		dl = 69.7624499989999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34026151-1.34025056) × R
    1.0949999999843e-05 × 6371000     		dr = 69.7624499989999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75559307--1.75554514) × cos(1.34026151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228498224046948 × 6371000     		do = 69.7746815464137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75559307--1.75554514) × cos(1.34025056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228508884343658 × 6371000     		du = 69.7779367962573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34026151)-sin(1.34025056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228498224046948-0.228508884343658)×R²
    abs(-1.75554514--1.75559307)×1.06602967095137e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06602967095137e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06602967095137e-05×40589641000000     		ar = 4867.76627965546m²