Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28910 / 43330
↖ ↑ ↗
← S 50.071244°
W 21.192627°		 ← 392.07 m → S 50.071244°
W 21.187134°		 →
↑
392.07 m
↓
↑
392.07 m
↓
S 50.074770°
W 21.192627°		 ← 392.04 m →
153 712 m²		 S 50.074770°
W 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441139221191406 y=0.661170959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441139221191406 × 216)
    floor (0.441139221191406 × 65536)
    floor (28910.5)     		tx = 28910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661170959472656 × 216)
    floor (0.661170959472656 × 65536)
    floor (43330.5)     		ty = 43330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28910 / 43330 ti = "16/28910/43330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28910/43330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28910 ÷ 216
    28910 ÷ 65536     		x = 0.441131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43330 ÷ 216
    43330 ÷ 65536     		y = 0.661163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36988112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661163330078125 × 2 - 1) × π
    -0.32232666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01261906757407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36988112} λ = -0.36988112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01261906757407))-π/2
    2×atan(0.363266313545186)-π/2
    2×0.348444132185187-π/2
    0.696888264370375-1.57079632675     		φ = -0.87390806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36988112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.192627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87390806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.071244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28910 KachelY 43330 -0.36988112 -0.87390806 -21.192627 -50.071244
    Oben rechts KachelX + 1 28911 KachelY 43330 -0.36978524 -0.87390806 -21.187134 -50.071244
    Unten links KachelX 28910 KachelY + 1 43331 -0.36988112 -0.87396960 -21.192627 -50.074770
    Unten rechts KachelX + 1 28911 KachelY + 1 43331 -0.36978524 -0.87396960 -21.187134 -50.074770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87390806--0.87396960) × R
    6.15400000000266e-05 × 6371000     		dl = 392.071340000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87390806--0.87396960) × R
    6.15400000000266e-05 × 6371000     		dr = 392.071340000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36988112--0.36978524) × cos(-0.87390806) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641834587307802 × 6371000     		do = 392.06560757213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36988112--0.36978524) × cos(-0.87396960) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641787394567185 × 6371000     		du = 392.036779816679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87390806)-sin(-0.87396960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641834587307802-0.641787394567185)×R²
    abs(-0.36978524--0.36988112)×4.71927406165973e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71927406165973e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71927406165973e-05×40589641000000     		ar = 153712.036908557m²