Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28910 / 19227
↖ ↑ ↗
← N 59.459035°
W 21.192627°		 ← 310.41 m → N 59.459035°
W 21.187134°		 →
↑
310.40 m
↓
↑
310.40 m
↓
N 59.456244°
W 21.192627°		 ← 310.43 m →
96 353 m²		 N 59.456244°
W 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441139221191406 y=0.293388366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441139221191406 × 216)
    floor (0.441139221191406 × 65536)
    floor (28910.5)     		tx = 28910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293388366699219 × 216)
    floor (0.293388366699219 × 65536)
    floor (19227.5)     		ty = 19227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28910 / 19227 ti = "16/28910/19227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28910/19227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28910 ÷ 216
    28910 ÷ 65536     		x = 0.441131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19227 ÷ 216
    19227 ÷ 65536     		y = 0.293380737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36988112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293380737304688 × 2 - 1) × π
    0.413238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29822711551036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36988112} λ = -0.36988112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29822711551036))-π/2
    2×atan(3.66279719158185)-π/2
    2×1.30427612752293-π/2
    2.60855225504586-1.57079632675     		φ = 1.03775593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36988112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.192627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03775593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.459035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28910 KachelY 19227 -0.36988112 1.03775593 -21.192627 59.459035
    Oben rechts KachelX + 1 28911 KachelY 19227 -0.36978524 1.03775593 -21.187134 59.459035
    Unten links KachelX 28910 KachelY + 1 19228 -0.36988112 1.03770721 -21.192627 59.456244
    Unten rechts KachelX + 1 28911 KachelY + 1 19228 -0.36978524 1.03770721 -21.187134 59.456244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03775593-1.03770721) × R
    4.87200000001131e-05 × 6371000     		dl = 310.395120000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03775593-1.03770721) × R
    4.87200000001131e-05 × 6371000     		dr = 310.395120000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36988112--0.36978524) × cos(1.03775593) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.508154276438551 × 6371000     		do = 310.406791830794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36988112--0.36978524) × cos(1.03770721) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.508196236718038 × 6371000     		du = 310.43242332962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03775593)-sin(1.03770721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508154276438551-0.508196236718038)×R²
    abs(-0.36978524--0.36988112)×4.19602794873297e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.19602794873297e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.19602794873297e-05×40589641000000     		ar = 96352.7313645208m²