Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28909 / 28629
↖ ↑ ↗
← N 70.651781°
W100.599060°		 ← 101.17 m → N 70.651781°
W100.596314°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
N 70.650871°
W100.599060°		 ← 101.17 m →
10 236 m²		 N 70.650871°
W100.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220561981201172 y=0.218425750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220561981201172 × 217)
    floor (0.220561981201172 × 131072)
    floor (28909.5)     		tx = 28909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218425750732422 × 217)
    floor (0.218425750732422 × 131072)
    floor (28629.5)     		ty = 28629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28909 / 28629 ti = "17/28909/28629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28909/28629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28909 ÷ 217
    28909 ÷ 131072     		x = 0.220558166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28629 ÷ 217
    28629 ÷ 131072     		y = 0.218421936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220558166503906 × 2 - 1) × π
    -0.558883666992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.75578482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218421936035156 × 2 - 1) × π
    0.563156127929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.76920715427741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75578482} λ = -1.75578482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76920715427741))-π/2
    2×atan(5.86620052514148)-π/2
    2×1.40195126253732-π/2
    2.80390252507465-1.57079632675     		φ = 1.23310620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75578482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.599060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23310620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.651781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28909 KachelY 28629 -1.75578482 1.23310620 -100.599060 70.651781
    Oben rechts KachelX + 1 28910 KachelY 28629 -1.75573689 1.23310620 -100.596314 70.651781
    Unten links KachelX 28909 KachelY + 1 28630 -1.75578482 1.23309032 -100.599060 70.650871
    Unten rechts KachelX + 1 28910 KachelY + 1 28630 -1.75573689 1.23309032 -100.596314 70.650871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23310620-1.23309032) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dl = 101.17147999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23310620-1.23309032) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dr = 101.17147999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75578482--1.75573689) × cos(1.23310620) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.331308560674232 × 6371000     		do = 101.169054643455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75578482--1.75573689) × cos(1.23309032) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.331323543769166 × 6371000     		du = 101.173629911739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23310620)-sin(1.23309032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331308560674232-0.331323543769166)×R²
    abs(-1.75573689--1.75578482)×1.49830949331964e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.49830949331964e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.49830949331964e-05×40589641000000     		ar = 10235.6544318885m²