Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28906 / 40746
↖ ↑ ↗
← S 40.086477°
W 21.214599°		 ← 467.30 m → S 40.086477°
W 21.209107°		 →
↑
467.31 m
↓
↑
467.31 m
↓
S 40.090680°
W 21.214599°		 ← 467.27 m →
218 367 m²		 S 40.090680°
W 21.209107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441078186035156 y=0.621742248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441078186035156 × 216)
    floor (0.441078186035156 × 65536)
    floor (28906.5)     		tx = 28906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621742248535156 × 216)
    floor (0.621742248535156 × 65536)
    floor (40746.5)     		ty = 40746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28906 / 40746 ti = "16/28906/40746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28906/40746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28906 ÷ 216
    28906 ÷ 65536     		x = 0.441070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40746 ÷ 216
    40746 ÷ 65536     		y = 0.621734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.24346923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.764881170337616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37026461} λ = -0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764881170337616))-π/2
    2×atan(0.465389229733728)-π/2
    2×0.435577656254356-π/2
    0.871155312508712-1.57079632675     		φ = -0.69964101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69964101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.086477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28906 KachelY 40746 -0.37026461 -0.69964101 -21.214599 -40.086477
    Oben rechts KachelX + 1 28907 KachelY 40746 -0.37016874 -0.69964101 -21.209107 -40.086477
    Unten links KachelX 28906 KachelY + 1 40747 -0.37026461 -0.69971436 -21.214599 -40.090680
    Unten rechts KachelX + 1 28907 KachelY + 1 40747 -0.37016874 -0.69971436 -21.209107 -40.090680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69964101--0.69971436) × R
    7.3349999999972e-05 × 6371000     		dl = 467.312849999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69964101--0.69971436) × R
    7.3349999999972e-05 × 6371000     		dr = 467.312849999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37026461--0.37016874) × cos(-0.69964101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765073405702996 × 6371000     		do = 467.297479355628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37026461--0.37016874) × cos(-0.69971436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765026170420352 × 6371000     		du = 467.268628622676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69964101)-sin(-0.69971436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765073405702996-0.765026170420352)×R²
    abs(-0.37016874--0.37026461)×4.72352826440536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72352826440536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72352826440536e-05×40589641000000     		ar = 218367.375814128m²