Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28906 / 28745
↖ ↑ ↗
← N 70.545948°
W100.607300°		 ← 101.70 m → N 70.545948°
W100.604553°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
N 70.545033°
W100.607300°		 ← 101.71 m →
10 348 m²		 N 70.545033°
W100.604553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220539093017578 y=0.219310760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220539093017578 × 217)
    floor (0.220539093017578 × 131072)
    floor (28906.5)     		tx = 28906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219310760498047 × 217)
    floor (0.219310760498047 × 131072)
    floor (28745.5)     		ty = 28745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28906 / 28745 ti = "17/28906/28745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28906/28745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28906 ÷ 217
    28906 ÷ 131072     		x = 0.220535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28745 ÷ 217
    28745 ÷ 131072     		y = 0.219306945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75592863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219306945800781 × 2 - 1) × π
    0.561386108398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.76364647392149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75592863} λ = -1.75592863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76364647392149))-π/2
    2×atan(5.8336709861226)-π/2
    2×1.40102769185664-π/2
    2.80205538371329-1.57079632675     		φ = 1.23125906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75592863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23125906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.545948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28906 KachelY 28745 -1.75592863 1.23125906 -100.607300 70.545948
    Oben rechts KachelX + 1 28907 KachelY 28745 -1.75588070 1.23125906 -100.604553 70.545948
    Unten links KachelX 28906 KachelY + 1 28746 -1.75592863 1.23124309 -100.607300 70.545033
    Unten rechts KachelX + 1 28907 KachelY + 1 28746 -1.75588070 1.23124309 -100.604553 70.545033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23125906-1.23124309) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23125906-1.23124309) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75592863--1.75588070) × cos(1.23125906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333050812564912 × 6371000     		do = 101.701072218033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75592863--1.75588070) × cos(1.23124309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333065870777257 × 6371000     		du = 101.705670424323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23125906)-sin(1.23124309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333050812564912-0.333065870777257)×R²
    abs(-1.75588070--1.75592863)×1.50582123443765e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50582123443765e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50582123443765e-05×40589641000000     		ar = 10347.796293688m²