Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28906 / 28635
↖ ↑ ↗
← N 70.646320°
W100.607300°		 ← 101.20 m → N 70.646320°
W100.604553°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
N 70.645410°
W100.607300°		 ← 101.20 m →
10 238 m²		 N 70.645410°
W100.604553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220539093017578 y=0.218471527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220539093017578 × 217)
    floor (0.220539093017578 × 131072)
    floor (28906.5)     		tx = 28906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218471527099609 × 217)
    floor (0.218471527099609 × 131072)
    floor (28635.5)     		ty = 28635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28906 / 28635 ti = "17/28906/28635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28906/28635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28906 ÷ 217
    28906 ÷ 131072     		x = 0.220535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28635 ÷ 217
    28635 ÷ 131072     		y = 0.218467712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75592863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218467712402344 × 2 - 1) × π
    0.563064575195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.76891953287969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75592863} λ = -1.75592863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76891953287969))-π/2
    2×atan(5.86451352296772)-π/2
    2×1.40190361035595-π/2
    2.80380722071189-1.57079632675     		φ = 1.23301089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75592863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23301089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.646320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28906 KachelY 28635 -1.75592863 1.23301089 -100.607300 70.646320
    Oben rechts KachelX + 1 28907 KachelY 28635 -1.75588070 1.23301089 -100.604553 70.646320
    Unten links KachelX 28906 KachelY + 1 28636 -1.75592863 1.23299501 -100.607300 70.645410
    Unten rechts KachelX + 1 28907 KachelY + 1 28636 -1.75588070 1.23299501 -100.604553 70.645410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23301089-1.23299501) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23301089-1.23299501) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75592863--1.75588070) × cos(1.23301089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331398486295214 × 6371000     		do = 101.196514514096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75592863--1.75588070) × cos(1.23299501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331413468888624 × 6371000     		du = 101.201089629234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23301089)-sin(1.23299501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331398486295214-0.331413468888624)×R²
    abs(-1.75588070--1.75592863)×1.49825934109282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49825934109282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49825934109282e-05×40589641000000     		ar = 10238.432580207m²