Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28905 / 40747
↖ ↑ ↗
← S 40.090680°
W 21.220093°		 ← 467.32 m → S 40.090680°
W 21.214599°		 →
↑
467.31 m
↓
↑
467.31 m
↓
S 40.094882°
W 21.220093°		 ← 467.29 m →
218 377 m²		 S 40.094882°
W 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441062927246094 y=0.621757507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441062927246094 × 216)
    floor (0.441062927246094 × 65536)
    floor (28905.5)     		tx = 28905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621757507324219 × 216)
    floor (0.621757507324219 × 65536)
    floor (40747.5)     		ty = 40747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28905 / 40747 ti = "16/28905/40747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28905/40747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28905 ÷ 216
    28905 ÷ 65536     		x = 0.441055297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40747 ÷ 216
    40747 ÷ 65536     		y = 0.621749877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441055297851562 × 2 - 1) × π
    -0.117889404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37036049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621749877929688 × 2 - 1) × π
    -0.243499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.764977044136856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37036049} λ = -0.37036049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764977044136856))-π/2
    2×atan(0.465344613238959)-π/2
    2×0.435540982139562-π/2
    0.871081964279123-1.57079632675     		φ = -0.69971436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37036049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.220093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69971436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.090680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28905 KachelY 40747 -0.37036049 -0.69971436 -21.220093 -40.090680
    Oben rechts KachelX + 1 28906 KachelY 40747 -0.37026461 -0.69971436 -21.214599 -40.090680
    Unten links KachelX 28905 KachelY + 1 40748 -0.37036049 -0.69978771 -21.220093 -40.094882
    Unten rechts KachelX + 1 28906 KachelY + 1 40748 -0.37026461 -0.69978771 -21.214599 -40.094882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69971436--0.69978771) × R
    7.3349999999972e-05 × 6371000     		dl = 467.312849999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69971436--0.69978771) × R
    7.3349999999972e-05 × 6371000     		dr = 467.312849999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37036049--0.37026461) × cos(-0.69971436) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.765026170420352 × 6371000     		do = 467.317368439968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37036049--0.37026461) × cos(-0.69978771) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.764978931021697 × 6371000     		du = 467.288512183385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69971436)-sin(-0.69978771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765026170420352-0.764978931021697)×R²
    abs(-0.37026461--0.37036049)×4.72393986550301e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72393986550301e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72393986550301e-05×40589641000000     		ar = 218376.668948121m²