Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28905 / 28744
↖ ↑ ↗
← N 70.546862°
W100.610046°		 ← 101.72 m → N 70.546862°
W100.607300°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 70.545948°
W100.610046°		 ← 101.72 m →
10 343 m²		 N 70.545948°
W100.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220531463623047 y=0.219303131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220531463623047 × 217)
    floor (0.220531463623047 × 131072)
    floor (28905.5)     		tx = 28905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219303131103516 × 217)
    floor (0.219303131103516 × 131072)
    floor (28744.5)     		ty = 28744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28905 / 28744 ti = "17/28905/28744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28905/28744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28905 ÷ 217
    28905 ÷ 131072     		x = 0.220527648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28744 ÷ 217
    28744 ÷ 131072     		y = 0.21929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220527648925781 × 2 - 1) × π
    -0.558944702148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.75597657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21929931640625 × 2 - 1) × π
    0.5614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76369441082111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75597657} λ = -1.75597657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76369441082111))-π/2
    2×atan(5.83395064092592)-π/2
    2×1.40103567438799-π/2
    2.80207134877598-1.57079632675     		φ = 1.23127502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75597657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.610046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23127502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.546862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28905 KachelY 28744 -1.75597657 1.23127502 -100.610046 70.546862
    Oben rechts KachelX + 1 28906 KachelY 28744 -1.75592863 1.23127502 -100.607300 70.546862
    Unten links KachelX 28905 KachelY + 1 28745 -1.75597657 1.23125906 -100.610046 70.545948
    Unten rechts KachelX + 1 28906 KachelY + 1 28745 -1.75592863 1.23125906 -100.607300 70.545948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23127502-1.23125906) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23127502-1.23125906) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75597657--1.75592863) × cos(1.23127502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333035763696768 × 6371000     		do = 101.717694573484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75597657--1.75592863) × cos(1.23125906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333050812564912 × 6371000     		du = 101.722290885173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23127502)-sin(1.23125906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333035763696768-0.333050812564912)×R²
    abs(-1.75592863--1.75597657)×1.50488681440741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50488681440741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50488681440741e-05×40589641000000     		ar = 10343.0068563176m²