Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28904 / 28643
↖ ↑ ↗
← N 70.639037°
W100.612793°		 ← 101.25 m → N 70.639037°
W100.610046°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.638127°
W100.612793°		 ← 101.26 m →
10 251 m²		 N 70.638127°
W100.610046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220523834228516 y=0.218532562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220523834228516 × 217)
    floor (0.220523834228516 × 131072)
    floor (28904.5)     		tx = 28904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218532562255859 × 217)
    floor (0.218532562255859 × 131072)
    floor (28643.5)     		ty = 28643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28904 / 28643 ti = "17/28904/28643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28904/28643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28904 ÷ 217
    28904 ÷ 131072     		x = 0.22052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28643 ÷ 217
    28643 ÷ 131072     		y = 0.218528747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218528747558594 × 2 - 1) × π
    0.562942504882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.76853603768273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75602451} λ = -1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76853603768273))-π/2
    2×atan(5.86226494138683)-π/2
    2×1.40184005399552-π/2
    2.80368010799103-1.57079632675     		φ = 1.23288378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23288378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.639037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28904 KachelY 28643 -1.75602451 1.23288378 -100.612793 70.639037
    Oben rechts KachelX + 1 28905 KachelY 28643 -1.75597657 1.23288378 -100.610046 70.639037
    Unten links KachelX 28904 KachelY + 1 28644 -1.75602451 1.23286789 -100.612793 70.638127
    Unten rechts KachelX + 1 28905 KachelY + 1 28644 -1.75597657 1.23286789 -100.610046 70.638127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23288378-1.23286789) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23288378-1.23286789) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75602451--1.75597657) × cos(1.23288378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33151841074363 × 6371000     		do = 101.254255924931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75602451--1.75597657) × cos(1.23286789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33153340210241 × 6371000     		du = 101.25883467178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23288378)-sin(1.23286789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33151841074363-0.33153340210241)×R²
    abs(-1.75597657--1.75602451)×1.49913587794703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49913587794703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49913587794703e-05×40589641000000     		ar = 10250.7256023524m²