Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28904 / 22186
↖ ↑ ↗
← N 50.141706°
W 21.225586°		 ← 391.45 m → N 50.141706°
W 21.220093°		 →
↑
391.50 m
↓
↑
391.50 m
↓
N 50.138185°
W 21.225586°		 ← 391.48 m →
153 257 m²		 N 50.138185°
W 21.220093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441047668457031 y=0.338539123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441047668457031 × 216)
    floor (0.441047668457031 × 65536)
    floor (28904.5)     		tx = 28904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338539123535156 × 216)
    floor (0.338539123535156 × 65536)
    floor (22186.5)     		ty = 22186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28904 / 22186 ti = "16/28904/22186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28904/22186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28904 ÷ 216
    28904 ÷ 65536     		x = 0.4410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22186 ÷ 216
    22186 ÷ 65536     		y = 0.338531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338531494140625 × 2 - 1) × π
    0.32293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01453654355887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37045636} λ = -0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01453654355887))-π/2
    2×atan(2.75808484893499)-π/2
    2×1.22296709347102-π/2
    2.44593418694203-1.57079632675     		φ = 0.87513786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87513786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.141706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28904 KachelY 22186 -0.37045636 0.87513786 -21.225586 50.141706
    Oben rechts KachelX + 1 28905 KachelY 22186 -0.37036049 0.87513786 -21.220093 50.141706
    Unten links KachelX 28904 KachelY + 1 22187 -0.37045636 0.87507641 -21.225586 50.138185
    Unten rechts KachelX + 1 28905 KachelY + 1 22187 -0.37036049 0.87507641 -21.220093 50.138185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87513786-0.87507641) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dl = 391.497950000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87513786-0.87507641) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dr = 391.497950000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37045636--0.37036049) × cos(0.87513786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640891038525248 × 6371000     		do = 391.448408233812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37045636--0.37036049) × cos(0.87507641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64093820829315 × 6371000     		du = 391.47721895116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87513786)-sin(0.87507641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640891038525248-0.64093820829315)×R²
    abs(-0.37036049--0.37045636)×4.71697679023109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71697679023109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71697679023109e-05×40589641000000     		ar = 153256.889071074m²