Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28904 / 20765
↖ ↑ ↗
← N 76.661421°
W100.612793°		 ← 70.46 m → N 76.661421°
W100.610046°		 →
↑
70.46 m
↓
↑
70.46 m
↓
N 76.660788°
W100.612793°		 ← 70.47 m →
4 965 m²		 N 76.660788°
W100.610046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220523834228516 y=0.158428192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220523834228516 × 217)
    floor (0.220523834228516 × 131072)
    floor (28904.5)     		tx = 28904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158428192138672 × 217)
    floor (0.158428192138672 × 131072)
    floor (20765.5)     		ty = 20765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28904 / 20765 ti = "17/28904/20765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28904/20765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28904 ÷ 217
    28904 ÷ 131072     		x = 0.22052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20765 ÷ 217
    20765 ÷ 131072     		y = 0.158424377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158424377441406 × 2 - 1) × π
    0.683151245117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.14618293288953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75602451} λ = -1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14618293288953))-π/2
    2×atan(8.552151877743)-π/2
    2×1.45439527038196-π/2
    2.90879054076391-1.57079632675     		φ = 1.33799421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33799421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.661421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28904 KachelY 20765 -1.75602451 1.33799421 -100.612793 76.661421
    Oben rechts KachelX + 1 28905 KachelY 20765 -1.75597657 1.33799421 -100.610046 76.661421
    Unten links KachelX 28904 KachelY + 1 20766 -1.75602451 1.33798315 -100.612793 76.660788
    Unten rechts KachelX + 1 28905 KachelY + 1 20766 -1.75597657 1.33798315 -100.610046 76.660788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33799421-1.33798315) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dl = 70.4632600003994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33799421-1.33798315) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dr = 70.4632600003994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75602451--1.75597657) × cos(1.33799421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230704951899809 × 6371000     		do = 70.4632306556172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75602451--1.75597657) × cos(1.33798315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230715713528413 × 6371000     		du = 70.4665175339975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33799421)-sin(1.33798315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230704951899809-0.230715713528413)×R²
    abs(-1.75597657--1.75602451)×1.07616286049161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07616286049161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07616286049161e-05×40589641000000     		ar = 4965.18474422426m²