Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28904 / 19233
↖ ↑ ↗
← N 59.442282°
W 21.225586°		 ← 310.53 m → N 59.442282°
W 21.220093°		 →
↑
310.52 m
↓
↑
310.52 m
↓
N 59.439490°
W 21.225586°		 ← 310.55 m →
96 430 m²		 N 59.439490°
W 21.220093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441047668457031 y=0.293479919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441047668457031 × 216)
    floor (0.441047668457031 × 65536)
    floor (28904.5)     		tx = 28904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293479919433594 × 216)
    floor (0.293479919433594 × 65536)
    floor (19233.5)     		ty = 19233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28904 / 19233 ti = "16/28904/19233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28904/19233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28904 ÷ 216
    28904 ÷ 65536     		x = 0.4410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19233 ÷ 216
    19233 ÷ 65536     		y = 0.293472290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293472290039062 × 2 - 1) × π
    0.413055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29765187271492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37045636} λ = -0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29765187271492))-π/2
    2×atan(3.66069079978767)-π/2
    2×1.30412993526979-π/2
    2.60825987053957-1.57079632675     		φ = 1.03746354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03746354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.442282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28904 KachelY 19233 -0.37045636 1.03746354 -21.225586 59.442282
    Oben rechts KachelX + 1 28905 KachelY 19233 -0.37036049 1.03746354 -21.220093 59.442282
    Unten links KachelX 28904 KachelY + 1 19234 -0.37045636 1.03741480 -21.225586 59.439490
    Unten rechts KachelX + 1 28905 KachelY + 1 19234 -0.37036049 1.03741480 -21.220093 59.439490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03746354-1.03741480) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dl = 310.522539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03746354-1.03741480) × R
    4.87399999999916e-05 × 6371000     		dr = 310.522539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37045636--0.37036049) × cos(1.03746354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508406080297594 × 6371000     		do = 310.528216039401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37045636--0.37036049) × cos(1.03741480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508448050558062 × 6371000     		du = 310.553850961199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03746354)-sin(1.03741480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508406080297594-0.508448050558062)×R²
    abs(-0.37036049--0.37045636)×4.19702604682604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19702604682604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19702604682604e-05×40589641000000     		ar = 96429.9905158678m²