Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28903 / 28647
↖ ↑ ↗
← N 70.635395°
W100.615539°		 ← 101.25 m → N 70.635395°
W100.612793°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
N 70.634484°
W100.615539°		 ← 101.26 m →
10 257 m²		 N 70.634484°
W100.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220516204833984 y=0.218563079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220516204833984 × 217)
    floor (0.220516204833984 × 131072)
    floor (28903.5)     		tx = 28903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218563079833984 × 217)
    floor (0.218563079833984 × 131072)
    floor (28647.5)     		ty = 28647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28903 / 28647 ti = "17/28903/28647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28903/28647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28903 ÷ 217
    28903 ÷ 131072     		x = 0.220512390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28647 ÷ 217
    28647 ÷ 131072     		y = 0.218559265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220512390136719 × 2 - 1) × π
    -0.558975219726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.75607244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218559265136719 × 2 - 1) × π
    0.562881469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.76834429008425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75607244} λ = -1.75607244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76834429008425))-π/2
    2×atan(5.86114097392514)-π/2
    2×1.401808267191-π/2
    2.80361653438199-1.57079632675     		φ = 1.23282021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75607244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.615539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23282021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.635395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28903 KachelY 28647 -1.75607244 1.23282021 -100.615539 70.635395
    Oben rechts KachelX + 1 28904 KachelY 28647 -1.75602451 1.23282021 -100.612793 70.635395
    Unten links KachelX 28903 KachelY + 1 28648 -1.75607244 1.23280431 -100.615539 70.634484
    Unten rechts KachelX + 1 28904 KachelY + 1 28648 -1.75602451 1.23280431 -100.612793 70.634484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23282021-1.23280431) × R
    1.59000000001797e-05 × 6371000     		dl = 101.298900001145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23282021-1.23280431) × R
    1.59000000001797e-05 × 6371000     		dr = 101.298900001145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75607244--1.75602451) × cos(1.23282021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331578385110752 × 6371000     		do = 101.251448781603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75607244--1.75602451) × cos(1.23280431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331593385568842 × 6371000     		du = 101.256029351936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23282021)-sin(1.23280431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331578385110752-0.331593385568842)×R²
    abs(-1.75602451--1.75607244)×1.50004580899976e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50004580899976e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50004580899976e-05×40589641000000     		ar = 10256.8923887585m²