Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28903 / 19223
↖ ↑ ↗
← N 59.470198°
W 21.231079°		 ← 310.27 m → N 59.470198°
W 21.225586°		 →
↑
310.27 m
↓
↑
310.27 m
↓
N 59.467408°
W 21.231079°		 ← 310.30 m →
96 271 m²		 N 59.467408°
W 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441032409667969 y=0.293327331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441032409667969 × 216)
    floor (0.441032409667969 × 65536)
    floor (28903.5)     		tx = 28903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293327331542969 × 216)
    floor (0.293327331542969 × 65536)
    floor (19223.5)     		ty = 19223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28903 / 19223 ti = "16/28903/19223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28903/19223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28903 ÷ 216
    28903 ÷ 65536     		x = 0.441024780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19223 ÷ 216
    19223 ÷ 65536     		y = 0.293319702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441024780273438 × 2 - 1) × π
    -0.117950439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37055223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293319702148438 × 2 - 1) × π
    0.413360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29861061070732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37055223} λ = -0.37055223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29861061070732))-π/2
    2×atan(3.66420212608786)-π/2
    2×1.30437354879517-π/2
    2.60874709759035-1.57079632675     		φ = 1.03795077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37055223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.231079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03795077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.470198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28903 KachelY 19223 -0.37055223 1.03795077 -21.231079 59.470198
    Oben rechts KachelX + 1 28904 KachelY 19223 -0.37045636 1.03795077 -21.225586 59.470198
    Unten links KachelX 28903 KachelY + 1 19224 -0.37055223 1.03790207 -21.231079 59.467408
    Unten rechts KachelX + 1 28904 KachelY + 1 19224 -0.37045636 1.03790207 -21.225586 59.467408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03795077-1.03790207) × R
    4.87000000000126e-05 × 6371000     		dl = 310.26770000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03795077-1.03790207) × R
    4.87000000000126e-05 × 6371000     		dr = 310.26770000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37055223--0.37045636) × cos(1.03795077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507986457714456 × 6371000     		do = 310.271915697605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37055223--0.37045636) × cos(1.03790207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508028405590247 × 6371000     		du = 310.297536947116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03795077)-sin(1.03790207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507986457714456-0.508028405590247)×R²
    abs(-0.37045636--0.37055223)×4.19478757914815e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19478757914815e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19478757914815e-05×40589641000000     		ar = 96271.3284000128m²