Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28901 / 20767
↖ ↑ ↗
← N 76.660154°
W100.621033°		 ← 70.47 m → N 76.660154°
W100.618286°		 →
↑
70.46 m
↓
↑
70.46 m
↓
N 76.659520°
W100.621033°		 ← 70.47 m →
4 966 m²		 N 76.659520°
W100.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220500946044922 y=0.158443450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220500946044922 × 217)
    floor (0.220500946044922 × 131072)
    floor (28901.5)     		tx = 28901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158443450927734 × 217)
    floor (0.158443450927734 × 131072)
    floor (20767.5)     		ty = 20767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28901 / 20767 ti = "17/28901/20767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28901/20767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28901 ÷ 217
    28901 ÷ 131072     		x = 0.220497131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20767 ÷ 217
    20767 ÷ 131072     		y = 0.158439636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220497131347656 × 2 - 1) × π
    -0.559005737304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.75616832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158439636230469 × 2 - 1) × π
    0.683120727539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.14608705909029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75616832} λ = -1.75616832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14608705909029))-π/2
    2×atan(8.55133198975432)-π/2
    2×1.45438421058616-π/2
    2.90876842117232-1.57079632675     		φ = 1.33797209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75616832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.621033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33797209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.660154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28901 KachelY 20767 -1.75616832 1.33797209 -100.621033 76.660154
    Oben rechts KachelX + 1 28902 KachelY 20767 -1.75612038 1.33797209 -100.618286 76.660154
    Unten links KachelX 28901 KachelY + 1 20768 -1.75616832 1.33796103 -100.621033 76.659520
    Unten rechts KachelX + 1 28902 KachelY + 1 20768 -1.75612038 1.33796103 -100.618286 76.659520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33797209-1.33796103) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dl = 70.4632600003994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33797209-1.33796103) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dr = 70.4632600003994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75616832--1.75612038) × cos(1.33797209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230726475128796 × 6371000     		do = 70.469804403758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75616832--1.75612038) × cos(1.33796103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230737236700956 × 6371000     		du = 70.4730912648984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33797209)-sin(1.33796103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230726475128796-0.230737236700956)×R²
    abs(-1.75612038--1.75616832)×1.07615721596233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07615721596233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07615721596233e-05×40589641000000     		ar = 4965.64795130624m²