Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28901 / 19218
↖ ↑ ↗
← N 59.484148°
W 21.242065°		 ← 310.14 m → N 59.484148°
W 21.236572°		 →
↑
310.14 m
↓
↑
310.14 m
↓
N 59.481359°
W 21.242065°		 ← 310.17 m →
96 192 m²		 N 59.481359°
W 21.236572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441001892089844 y=0.293251037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441001892089844 × 216)
    floor (0.441001892089844 × 65536)
    floor (28901.5)     		tx = 28901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293251037597656 × 216)
    floor (0.293251037597656 × 65536)
    floor (19218.5)     		ty = 19218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28901 / 19218 ti = "16/28901/19218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28901/19218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28901 ÷ 216
    28901 ÷ 65536     		x = 0.440994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19218 ÷ 216
    19218 ÷ 65536     		y = 0.293243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440994262695312 × 2 - 1) × π
    -0.118011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37074398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293243408203125 × 2 - 1) × π
    0.41351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29908997970352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37074398} λ = -0.37074398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29908997970352))-π/2
    2×atan(3.6659590520572)-π/2
    2×1.30449528013909-π/2
    2.60899056027818-1.57079632675     		φ = 1.03819423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37074398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.242065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03819423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.484148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28901 KachelY 19218 -0.37074398 1.03819423 -21.242065 59.484148
    Oben rechts KachelX + 1 28902 KachelY 19218 -0.37064811 1.03819423 -21.236572 59.484148
    Unten links KachelX 28901 KachelY + 1 19219 -0.37074398 1.03814555 -21.242065 59.481359
    Unten rechts KachelX + 1 28902 KachelY + 1 19219 -0.37064811 1.03814555 -21.236572 59.481359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03819423-1.03814555) × R
    4.86799999999121e-05 × 6371000     		dl = 310.14027999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03819423-1.03814555) × R
    4.86799999999121e-05 × 6371000     		dr = 310.14027999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37074398--0.37064811) × cos(1.03819423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507776734725241 × 6371000     		do = 310.143819460705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37074398--0.37064811) × cos(1.03814555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507818671393701 × 6371000     		du = 310.169433864914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03819423)-sin(1.03814555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507776734725241-0.507818671393701)×R²
    abs(-0.37064811--0.37074398)×4.19366684597522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19366684597522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19366684597522e-05×40589641000000     		ar = 96192.0630557883m²