Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28898 / 21154
↖ ↑ ↗
← N 76.412683°
W100.629273°		 ← 71.75 m → N 76.412683°
W100.626526°		 →
↑
71.74 m
↓
↑
71.74 m
↓
N 76.412037°
W100.629273°		 ← 71.76 m →
5 147 m²		 N 76.412037°
W100.626526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220478057861328 y=0.161396026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220478057861328 × 217)
    floor (0.220478057861328 × 131072)
    floor (28898.5)     		tx = 28898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161396026611328 × 217)
    floor (0.161396026611328 × 131072)
    floor (21154.5)     		ty = 21154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28898 / 21154 ti = "17/28898/21154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28898/21154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28898 ÷ 217
    28898 ÷ 131072     		x = 0.220474243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21154 ÷ 217
    21154 ÷ 131072     		y = 0.161392211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220474243164062 × 2 - 1) × π
    -0.559051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75631213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161392211914062 × 2 - 1) × π
    0.677215576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12753547893733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75631213} λ = -1.75631213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12753547893733))-π/2
    2×atan(8.39415372934138)-π/2
    2×1.45222461406696-π/2
    2.90444922813392-1.57079632675     		φ = 1.33365290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75631213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.629273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33365290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.412683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28898 KachelY 21154 -1.75631213 1.33365290 -100.629273 76.412683
    Oben rechts KachelX + 1 28899 KachelY 21154 -1.75626419 1.33365290 -100.626526 76.412683
    Unten links KachelX 28898 KachelY + 1 21155 -1.75631213 1.33364164 -100.629273 76.412037
    Unten rechts KachelX + 1 28899 KachelY + 1 21155 -1.75626419 1.33364164 -100.626526 76.412037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33365290-1.33364164) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dl = 71.7374599997287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33365290-1.33364164) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dr = 71.7374599997287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75631213--1.75626419) × cos(1.33365290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234926962341364 × 6371000     		do = 71.7527413190162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75631213--1.75626419) × cos(1.33364164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234937907193142 × 6371000     		du = 71.7560841584696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33365290)-sin(1.33364164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234926962341364-0.234937907193142)×R²
    abs(-1.75626419--1.75631213)×1.09448517775501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09448517775501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09448517775501e-05×40589641000000     		ar = 5147.47931384146m²