Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28897 / 43689
↖ ↑ ↗
← S 51.320314°
W 21.264038°		 ← 381.76 m → S 51.320314°
W 21.258545°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
S 51.323746°
W 21.264038°		 ← 381.73 m →
145 708 m²		 S 51.323746°
W 21.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440940856933594 y=0.666648864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440940856933594 × 216)
    floor (0.440940856933594 × 65536)
    floor (28897.5)     		tx = 28897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666648864746094 × 216)
    floor (0.666648864746094 × 65536)
    floor (43689.5)     		ty = 43689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28897 / 43689 ti = "16/28897/43689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28897/43689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28897 ÷ 216
    28897 ÷ 65536     		x = 0.440933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43689 ÷ 216
    43689 ÷ 65536     		y = 0.666641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440933227539062 × 2 - 1) × π
    -0.118133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37112748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666641235351562 × 2 - 1) × π
    -0.333282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04703776150127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37112748} λ = -0.37112748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04703776150127))-π/2
    2×atan(0.350975885027698)-π/2
    2×0.33754394003291-π/2
    0.67508788006582-1.57079632675     		φ = -0.89570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37112748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.264038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.320314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28897 KachelY 43689 -0.37112748 -0.89570845 -21.264038 -51.320314
    Oben rechts KachelX + 1 28898 KachelY 43689 -0.37103160 -0.89570845 -21.258545 -51.320314
    Unten links KachelX 28897 KachelY + 1 43690 -0.37112748 -0.89576836 -21.264038 -51.323746
    Unten rechts KachelX + 1 28898 KachelY + 1 43690 -0.37103160 -0.89576836 -21.258545 -51.323746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89570845--0.89576836) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dl = 381.68661000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89570845--0.89576836) × R
    5.99100000000519e-05 × 6371000     		dr = 381.68661000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37112748--0.37103160) × cos(-0.89570845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624965920339399 × 6371000     		do = 381.761357388854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37112748--0.37103160) × cos(-0.89576836) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624919150354495 × 6371000     		du = 381.732787874356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89570845)-sin(-0.89576836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624965920339399-0.624919150354495)×R²
    abs(-0.37103160--0.37112748)×4.67699849040493e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67699849040493e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67699849040493e-05×40589641000000     		ar = 145707.746073604m²