Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28897 / 28638
↖ ↑ ↗
← N 70.643589°
W100.632019°		 ← 101.23 m → N 70.643589°
W100.629273°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.642679°
W100.632019°		 ← 101.24 m →
10 248 m²		 N 70.642679°
W100.629273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220470428466797 y=0.218494415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220470428466797 × 217)
    floor (0.220470428466797 × 131072)
    floor (28897.5)     		tx = 28897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218494415283203 × 217)
    floor (0.218494415283203 × 131072)
    floor (28638.5)     		ty = 28638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28897 / 28638 ti = "17/28897/28638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28897/28638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28897 ÷ 217
    28897 ÷ 131072     		x = 0.220466613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28638 ÷ 217
    28638 ÷ 131072     		y = 0.218490600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220466613769531 × 2 - 1) × π
    -0.559066772460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75636007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218490600585938 × 2 - 1) × π
    0.563018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76877572218083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75636007} λ = -1.75636007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76877572218083))-π/2
    2×atan(5.86367020382012)-π/2
    2×1.40187977941556-π/2
    2.80375955883112-1.57079632675     		φ = 1.23296323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75636007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.632019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23296323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.643589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28897 KachelY 28638 -1.75636007 1.23296323 -100.632019 70.643589
    Oben rechts KachelX + 1 28898 KachelY 28638 -1.75631213 1.23296323 -100.629273 70.643589
    Unten links KachelX 28897 KachelY + 1 28639 -1.75636007 1.23294734 -100.632019 70.642679
    Unten rechts KachelX + 1 28898 KachelY + 1 28639 -1.75631213 1.23294734 -100.629273 70.642679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23296323-1.23294734) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23296323-1.23294734) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75636007--1.75631213) × cos(1.23296323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331443452694222 × 6371000     		do = 101.231361807221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75636007--1.75631213) × cos(1.23294734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331458444471493 × 6371000     		du = 101.235940681888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23296323)-sin(1.23294734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331443452694222-0.331458444471493)×R²
    abs(-1.75631213--1.75636007)×1.49917772704899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49917772704899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49917772704899e-05×40589641000000     		ar = 10248.4079183819m²